Номер 21.7, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21.7. 1) $f(x) = \lg(3x - 1) + \lg(x^2 + x + 1);$

2) $f(x) = \lg(x - 5) + \lg(x^2 + x + 2);$

3) $f(x) = \log_3(x - 1) + \log_2(x + 5);$

4) $f(x) = \log_{0.3}(3 - x) - \log_{0.3}(x + 2).$

В задачах требуется найти область определения функции. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ определяется условием $b > 0$ (аргумент логарифма должен быть строго положительным). Основание логарифма $a$ должно быть $a > 0$ и $a \neq 1$, что выполняется для всех заданных функций.

1) Для функции $f(x) = \lg(3x - 1) + \lg(x^2 + x + 1)$ необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x^2 + x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x - 1 > 0$

$3x > 1$

$x > \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство: $x^2 + x + 1 > 0$.

Это квадратичное неравенство. Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 + x + 1 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, парабола $y = x^2 + x + 1$ полностью лежит выше оси Ox, а значит, неравенство $x^2 + x + 1 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Областью определения функции является пересечение решений двух неравенств: $x > \frac{1}{3}$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \lg(x - 5) + \lg(x^2 + x + 2)$ находится из условия, что аргументы логарифмов положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x^2 + x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x - 5 > 0$

$x > 5$

Решим второе неравенство: $x^2 + x + 2 > 0$.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + x + 2 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный. Это означает, что парабола $y = x^2 + x + 2$ целиком находится выше оси абсцисс, и неравенство $x^2 + x + 2 > 0$ справедливо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Пересечением решений $x > 5$ и $x \in \mathbb{R}$ является интервал $x > 5$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (5; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_3(x - 1) + \log_2(x + 5)$ необходимо, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительны:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

Из первого неравенства получаем: $x > 1$.

Из второго неравенства получаем: $x > -5$.

Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, необходимо найти их пересечение. Решением системы является $x > 1$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \log_7(3 - x) - \log_{0.3}(x + 2)$ аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

Из первого неравенства: $3 > x$, или $x < 3$.

Из второго неравенства: $x > -2$.

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-2 < x < 3$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (-2; 3)$.

Ответ: $D(f) = (-2; 3)$.