Номер 20.11, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20.11. Прологарифмируйте следующие выражения:

1) $lg(a^2 b^3)$;

2) $lg(5a^2 x^2)$;

3) $lg((mn)^3)$;

4) $lg\sqrt[3]{7a^3b}$;

5) $lg(4\sqrt[5]{2ab^3})$;

6) $lg(7a^8b\sqrt[8]{c}).$

1) Для логарифмирования выражения $\lg(a^2 b^3)$ используем свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ и свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$.

Сначала применяем свойство логарифма произведения:

$\lg(a^2 b^3) = \lg(a^2) + \lg(b^3)$

Затем применяем свойство логарифма степени:

$\lg(a^2) + \lg(b^3) = 2 \lg a + 3 \lg b$

Ответ: $2 \lg a + 3 \lg b$

2) Применяем свойство логарифма произведения $\lg(xyz) = \lg x + \lg y + \lg z$ и свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$.

$\lg(5a^2 x^{-2}) = \lg 5 + \lg(a^2) + \lg(x^{-2})$

$\lg 5 + 2 \lg a + (-2) \lg x = \lg 5 + 2 \lg a - 2 \lg x$

Ответ: $\lg 5 + 2 \lg a - 2 \lg x$

3) Сначала применяем свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$, а затем свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg x + \lg y$.

$\lg((mn)^3) = 3 \lg(mn)$

$3(\lg m + \lg n) = 3 \lg m + 3 \lg n$

Ответ: $3 \lg m + 3 \lg n$

4) Представим корень как степень $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ и воспользуемся свойствами логарифма. Кубический корень эквивалентен возведению в степень $\frac{1}{3}$.

$\lg \sqrt[3]{7a^8b} = \lg((7a^8b)^{1/3})$

Применяем свойство логарифма степени:

$\frac{1}{3} \lg(7a^8b)$

Затем применяем свойство логарифма произведения:

$\frac{1}{3}(\lg 7 + \lg(a^8) + \lg b) = \frac{1}{3}(\lg 7 + 8 \lg a + \lg b)$

Раскрываем скобки:

$\frac{1}{3} \lg 7 + \frac{8}{3} \lg a + \frac{1}{3} \lg b$

Ответ: $\frac{1}{3} \lg 7 + \frac{8}{3} \lg a + \frac{1}{3} \lg b$

5) Применяем свойство логарифма произведения. Затем представляем корень как степень и снова используем свойства логарифма.

$\lg(4\sqrt[5]{2ab^3}) = \lg 4 + \lg(\sqrt[5]{2ab^3}) = \lg(2^2) + \lg((2ab^3)^{1/5})$

Применяем свойство логарифма степени:

$2 \lg 2 + \frac{1}{5} \lg(2ab^3)$

Применяем свойство логарифма произведения:

$2 \lg 2 + \frac{1}{5}(\lg 2 + \lg a + \lg(b^3)) = 2 \lg 2 + \frac{1}{5}(\lg 2 + \lg a + 3 \lg b)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2 \lg 2 + \frac{1}{5} \lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b = (2 + \frac{1}{5})\lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b = \frac{11}{5} \lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b$

Ответ: $\frac{11}{5} \lg 2 + \frac{1}{5} \lg a + \frac{3}{5} \lg b$

6) Применяем свойство логарифма произведения. Затем представляем корень как степень и используем свойство логарифма степени.

$\lg(7a^8b^8\sqrt[8]{c}) = \lg 7 + \lg(a^8) + \lg(b^8) + \lg(\sqrt[8]{c})$

Представляем корень в виде степени:

$\lg 7 + \lg(a^8) + \lg(b^8) + \lg(c^{1/8})$

Применяем свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg x$ ко всем слагаемым:

$\lg 7 + 8 \lg a + 8 \lg b + \frac{1}{8} \lg c$

Ответ: $\lg 7 + 8 \lg a + 8 \lg b + \frac{1}{8} \lg c$