Вопросы, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Чем отличаются логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию? Ответ обоснуйте.

2. Существуют ли логарифмы отрицательных чисел в области действительных чисел? Ответ обоснуйте.

3. Логарифмы каких чисел нужно знать, чтобы вычислить десятичные логарифмы всех натуральных чисел первого десятка?

4. Как можно вычислить $ln10$ зная значение $lge$?

5. Что больше: десятичный или натуральный логарифм данного числа $N$?

6. Какие из общих свойств логарифма присущи натуральному логарифму?

1. Чем отличаются логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию? Ответ обоснуйте.

Логарифмы взаимнообратных чисел по одному и тому же основанию являются противоположными числами, то есть они равны по модулю, но имеют разные знаки.

Обоснование:

Пусть даны два взаимнообратных числа $x$ и $\frac{1}{x}$ (где $x > 0$). Найдем их логарифмы по основанию $a$ (где $a > 0, a \ne 1$). Первый логарифм: $log_a(x)$. Второй логарифм: $log_a(\frac{1}{x})$. Используя свойство логарифма степени, мы можем преобразовать второй логарифм: $log_a(\frac{1}{x}) = log_a(x^{-1}) = -1 \cdot log_a(x) = -log_a(x)$. Таким образом, $log_a(\frac{1}{x})$ и $log_a(x)$ — это противоположные числа. Их сумма равна нулю: $log_a(x) + log_a(\frac{1}{x}) = log_a(x \cdot \frac{1}{x}) = log_a(1) = 0$.

Ответ: Логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию отличаются знаком (являются противоположными числами).

2. Существуют ли логарифмы отрицательных чисел в области действительных чисел? Ответ обоснуйте.

Нет, в области действительных чисел логарифмы отрицательных чисел не существуют.

Обоснование:

По определению, логарифм $log_a(b) = c$ — это такое число $c$, что $a^c = b$. В области действительных чисел на основание логарифма $a$ и число под логарифмом $b$ накладываются ограничения: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$. Требование $b > 0$ вытекает из того, что основание $a$ — положительное число. Любая действительная степень положительного числа $a$ также является положительным числом ($a^c > 0$). Следовательно, не существует такого действительного числа $c$, чтобы при возведении положительного основания $a$ в эту степень получилось отрицательное число $b$.

Ответ: Нет, в области действительных чисел логарифмы отрицательных чисел не существуют, так как положительное основание, возведенное в любую действительную степень, всегда дает положительный результат.

3. Логарифмы каких чисел нужно знать, чтобы вычислить десятичные логарифмы всех натуральных чисел первого десятка?

Для вычисления десятичных логарифмов всех натуральных чисел от 1 до 10 (lg 1, lg 2, ..., lg 10) достаточно знать значения логарифмов простых чисел из этого диапазона, а именно lg 2, lg 3 и lg 7.

Обоснование:

Натуральные числа первого десятка: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

- $lg(1) = 0$ и $lg(10) = 1$ известны из определения десятичного логарифма.

- $lg(2)$, $lg(3)$, $lg(7)$ — логарифмы простых чисел, их нужно знать.

- Остальные логарифмы можно вычислить, используя свойства логарифмов и уже известные значения:

$lg(4) = lg(2^2) = 2 \cdot lg(2)$

$lg(5) = lg(\frac{10}{2}) = lg(10) - lg(2) = 1 - lg(2)$

$lg(6) = lg(2 \cdot 3) = lg(2) + lg(3)$

$lg(8) = lg(2^3) = 3 \cdot lg(2)$

$lg(9) = lg(3^2) = 2 \cdot lg(3)$

Таким образом, зная всего три значения ($lg(2)$, $lg(3)$, $lg(7)$), можно найти логарифмы всех чисел от 1 до 10.

Ответ: Нужно знать десятичные логарифмы простых чисел: 2, 3 и 7.

4. Как можно вычислить ln10 зная значение lge?

Зная значение $lg(e)$, можно вычислить $ln(10)$ с помощью формулы перехода к новому основанию, которая в частном случае дает соотношение: $log_a(b) = \frac{1}{log_b(a)}$.

В нашем случае $ln(10) = log_e(10)$, а $lg(e) = log_{10}(e)$.

Применяя формулу, получаем:

$ln(10) = log_e(10) = \frac{1}{log_{10}(e)} = \frac{1}{lg(e)}$.

Таким образом, чтобы найти натуральный логарифм числа 10, нужно разделить 1 на десятичный логарифм числа e.

Ответ: Можно вычислить по формуле $ln(10) = \frac{1}{lg(e)}$.

5. Что больше: десятичный или натуральный логарифм данного числа N?

Сравнение десятичного ($lg(N) = log_{10}(N)$) и натурального ($ln(N) = log_e(N)$) логарифмов зависит от значения числа $N$. Основание натурального логарифма $e \approx 2.718$, а десятичного — 10. Так как $e < 10$, поведение логарифмических функций будет разным.

1. Если $N > 1$. Логарифмическая функция $y = log_a(x)$ при $a > 1$ является возрастающей. Чем меньше основание $a$, тем быстрее растет функция. Так как $e < 10$, график $y=ln(x)$ лежит выше графика $y=lg(x)$. Следовательно, $ln(N) > lg(N)$.

2. Если $N = 1$. Логарифм любого числа по любому основанию равен нулю. Следовательно, $ln(1) = lg(1) = 0$.

3. Если $0 < N < 1$. В этом диапазоне значения логарифмов отрицательны. Так как для $x > 1$ было $ln(x) > lg(x)$, то для $0 < x < 1$ неравенство меняет знак: $ln(N) < lg(N)$. Например, $ln(0.1) \approx -2.3$, а $lg(0.1) = -1$.

Ответ: Если $N > 1$, то натуральный логарифм больше десятичного ($ln(N) > lg(N)$). Если $0 < N < 1$, то десятичный логарифм больше натурального ($lg(N) > ln(N)$). Если $N = 1$, они равны.

6. Какие из общих свойств логарифма присущи натуральному логарифму?

Натуральный логарифм ($ln(x)$) является частным случаем логарифма, где в качестве основания выступает трансцендентное число $e$. Поэтому натуральному логарифму присущи абсолютно все общие свойства логарифмов.

Основные свойства:

- Основное логарифмическое тождество: $e^{ln(x)} = x$ для $x > 0$.

- Логарифм единицы: $ln(1) = 0$.

- Логарифм основания: $ln(e) = 1$.

- Логарифм произведения: $ln(x \cdot y) = ln(x) + ln(y)$ для $x>0, y>0$.

- Логарифм частного: $ln(\frac{x}{y}) = ln(x) - ln(y)$ для $x>0, y>0$.

- Логарифм степени: $ln(x^p) = p \cdot ln(x)$ для $x>0$.

- Формула перехода к новому основанию: $ln(x) = \frac{log_a(x)}{log_a(e)}$.

Ответ: Натуральному логарифму присущи все общие свойства логарифмов.