Номер 19.16, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.16. Можно ли среди всех значений функции $y = 3^{|x|}$ указать:

1) наибольшее значение;

2) наименьшее значение?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, проанализируем функцию $y = 3^{|x|}$.

Эта функция является композицией двух функций: модуля $t(x) = |x|$ и показательной функции $f(t) = 3^t$.

1. Сначала рассмотрим область значений аргумента показательной функции, то есть выражения $|x|$. По определению модуля, $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Наименьшее значение $|x|$ равно $0$ и достигается при $x=0$. Наибольшего значения у $|x|$ не существует, так как при $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, $|x|$ также стремится к $+\infty$. Таким образом, область значений для $|x|$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

2. Теперь рассмотрим саму показательную функцию $y = 3^t$, где $t = |x|$. Поскольку основание степени $3$ больше единицы ($3>1$), эта функция является монотонно возрастающей. Это означает, что чем больше значение показателя степени $t$, тем больше значение функции $y$.

1) наибольшее значение

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 3^{|x|}$, нужно найти наибольшее значение ее показателя $|x|$. Как мы установили, выражение $|x|$ не ограничено сверху, то есть может принимать сколь угодно большие значения. Поскольку функция $y = 3^t$ возрастающая, ее значения также не ограничены сверху. При $x \to \infty$, $|x| \to \infty$, и, следовательно, $y = 3^{|x|} \to \infty$. Таким образом, у функции нет конечного наибольшего значения.

Ответ: нет, указать наибольшее значение невозможно.

2) наименьшее значение

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 3^{|x|}$, нужно найти наименьшее значение ее показателя $|x|$. Наименьшее значение $|x|$ равно $0$ и достигается при $x=0$. Так как функция $y = 3^t$ возрастающая, ее наименьшее значение будет соответствовать наименьшему значению показателя. Подставим наименьшее значение показателя $t=0$ в функцию:

$y_{наим} = 3^0 = 1$.

Это значение функция принимает при $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции существует.

Ответ: да, наименьшее значение функции равно 1.