Номер 19.12, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.12. Постройте графики функции посредством простейших преобразований:

1) $y = 2^{x+3} - 3;$

2) $y = 2 - 3^{x-1}.$

1) $y = 2^{x+3} - 3$

Для построения графика функции $y = 2^{x+3} - 3$ выполним последовательность простейших преобразований, исходя из графика базовой показательной функции $y_0 = 2^x$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y_0 = 2^x$.

Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$. Вычислим несколько контрольных точек:

при $x = -1$, $y = 2^{-1} = 0.5$, точка $(-1, 0.5)$;

при $x = 0$, $y = 2^0 = 1$, точка $(0, 1)$;

при $x = 1$, $y = 2^1 = 2$, точка $(1, 2)$.

Шаг 2. Сдвиг по оси $Ox$ для получения $y_1 = 2^{x+3}$.

График функции $y_1 = 2^{x+3}$ получается из графика $y_0 = 2^x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы влево. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$.

Каждая точка $(x, y)$ на графике $y_0=2^x$ переходит в точку $(x-3, y)$ на графике $y_1 = 2^{x+3}$. Преобразуем контрольные точки:

$(-1, 0.5) \to (-1-3, 0.5) = (-4, 0.5)$;

$(0, 1) \to (0-3, 1) = (-3, 1)$;

$(1, 2) \to (1-3, 2) = (-2, 2)$.

Горизонтальная асимптота $y=0$ при этом сдвиге не изменяется.

Шаг 3. Сдвиг по оси $Oy$ для получения $y = 2^{x+3} - 3$.

Искомый график получается из графика $y_1 = 2^{x+3}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат ($Oy$) на 3 единицы вниз. Это преобразование вида $f(x) \to f(x)-b$.

Каждая точка $(x, y)$ на графике $y_1 = 2^{x+3}$ переходит в точку $(x, y-3)$ на итоговом графике. Преобразуем контрольные точки:

$(-4, 0.5) \to (-4, 0.5-3) = (-4, -2.5)$;

$(-3, 1) \to (-3, 1-3) = (-3, -2)$;

$(-2, 2) \to (-2, 2-3) = (-2, -1)$.

Горизонтальная асимптота также сдвигается на 3 единицы вниз и становится прямой $y = -3$.

Для большей точности можно найти точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2^{0+3} - 3 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 2^{x+3} - 3 \Rightarrow 2^{x+3} = 3 \Rightarrow x+3 = \log_2 3 \Rightarrow x = \log_2 3 - 3$. Точка $(\log_2 3 - 3, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2^{x+3} - 3$ получается из графика $y = 2^x$ сдвигом на 3 единицы влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=-3$. График является возрастающим и проходит через точки $(-4, -2.5)$, $(-3, -2)$, $(-2, -1)$ и $(0, 5)$.

2) $y = 2 - 3^{x-1}$

Для построения графика функции $y = 2 - 3^{x-1}$, которую можно записать как $y = -3^{x-1} + 2$, выполним последовательность простейших преобразований, исходя из графика базовой функции $y_0 = 3^x$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y_0 = 3^x$.

Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$. Ось $Ox$ ($y=0$) является ее горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Контрольные точки:

при $x = -1$, $y = 3^{-1} = 1/3$, точка $(-1, 1/3)$;

при $x = 0$, $y = 3^0 = 1$, точка $(0, 1)$;

при $x = 1$, $y = 3^1 = 3$, точка $(1, 3)$.

Шаг 2. Сдвиг по оси $Ox$ для получения $y_1 = 3^{x-1}$.

График этой функции получается из графика $y_0 = 3^x$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Преобразуем контрольные точки:

$(-1, 1/3) \to (0, 1/3)$;

$(0, 1) \to (1, 1)$;

$(1, 3) \to (2, 3)$.

Асимптота $y=0$ остается на месте.

Шаг 3. Отражение относительно оси $Ox$ для получения $y_2 = -3^{x-1}$.

График этой функции получается из графика $y_1 = 3^{x-1}$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$. Каждая ордината точки умножается на $-1$. Преобразуем контрольные точки:

$(0, 1/3) \to (0, -1/3)$;

$(1, 1) \to (1, -1)$;

$(2, 3) \to (2, -3)$.

Асимптота $y=0$ не изменяется. Функция становится убывающей.

Шаг 4. Сдвиг по оси $Oy$ для получения $y = -3^{x-1} + 2$.

Искомый график получается из графика $y_2 = -3^{x-1}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Преобразуем контрольные точки:

$(0, -1/3) \to (0, -1/3 + 2) = (0, 5/3)$;

$(1, -1) \to (1, -1 + 2) = (1, 1)$;

$(2, -3) \to (2, -3 + 2) = (2, -1)$.

Горизонтальная асимптота сдвигается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2 - 3^{0-1} = 2 - 1/3 = 5/3$. Точка $(0, 5/3)$.

Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 2 - 3^{x-1} \Rightarrow 3^{x-1} = 2 \Rightarrow x-1 = \log_3 2 \Rightarrow x = 1 + \log_3 2$. Точка $(1 + \log_3 2, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 - 3^{x-1}$ получается из графика $y = 3^x$ последовательным применением преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо по оси $Ox$, отражение относительно оси $Ox$ и сдвиг на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=2$. График является убывающим и проходит через точки $(0, 5/3)$, $(1, 1)$ и $(2, -1)$.