Номер 19.19, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19.19. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x - \cos x = 1;$

2) $\sin^2 x + 2\cos x = 0.$

1) $sin^2x - cosx = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$. Выразим из него $sin^2x$:

$sin^2x = 1 - cos^2x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(1 - cos^2x) - cosx = 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$1 - cos^2x - cosx - 1 = 0$

$-cos^2x - cosx = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$cos^2x + cosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $cosx = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

2. $cosx + 1 = 0$

$cosx = -1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются обе серии корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $sin^2x + 2cosx = 0$

Как и в предыдущем задании, используем тождество $sin^2x = 1 - cos^2x$ и подставляем его в уравнение:

$(1 - cos^2x) + 2cosx = 0$

$-cos^2x + 2cosx + 1 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$cos^2x - 2cosx - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену переменной: пусть $t = cosx$. При этом необходимо учесть, что значения косинуса лежат в промежутке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по формуле: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = 1 + \sqrt{2}$

$t_2 = 1 - \sqrt{2}$

Теперь вернемся к замене $t = cosx$ и проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку $[-1, 1]$.

1. $cosx = 1 + \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 + \sqrt{2} > 1$. Это значение не входит в область значений функции косинус, следовательно, это уравнение не имеет решений.

2. $cosx = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} \approx -0.414$. Это значение принадлежит отрезку $[-1, 1]$, значит, уравнение имеет решения.

Общее решение для уравнения $cosx = a$ имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае:

$x = \pm arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.