Номер 7, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Найдите значение производной функции $y = \log_{7}(\cos2x)$ при $x = \frac{\pi}{8}:

A) $-\frac{2}{\ln 7};$

B) $\frac{2}{\ln 7};$

C) $-\frac{2\sqrt{2}}{\ln 7};$

D) $2\ln 7.$

Чтобы найти значение производной функции $y = \log_7(\cos(2x))$ при $x = \frac{\pi}{8}$, необходимо сначала найти общую формулу для производной $y'$, а затем подставить в нее указанное значение $x$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной будем использовать цепное правило дифференцирования. Функция состоит из трех вложенных функций: внешней $f(u) = \log_7(u)$, средней $u(v) = \cos(v)$ и внутренней $v(x) = 2x$.

Производная сложной функции $y(x) = f(u(v(x)))$ находится по формуле:

$y' = f'(u) \cdot u'(v) \cdot v'(x)$.

Найдем производные каждой из функций:

1. Производная логарифмической функции с основанием $a$: $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a}$. В нашем случае $a=7$, поэтому производная внешней функции: $(\log_7 u)' = \frac{1}{u \ln 7}$.

2. Производная косинуса: $(\cos v)' = -\sin v$.

3. Производная линейной функции: $(2x)' = 2$.

Теперь, применяя цепное правило, соберем производную исходной функции:

$y' = (\log_7(\cos(2x)))' = \frac{1}{\cos(2x) \cdot \ln 7} \cdot (\cos(2x))'$

Производная от $\cos(2x)$ также находится по цепному правилу: $(\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Подставляем это в выражение для $y'$:

$y' = \frac{1}{\cos(2x) \ln 7} \cdot (-2\sin(2x)) = -\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x) \ln 7}$.

Мы можем упростить это выражение, используя тригонометрическое тождество $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$y' = -\frac{2}{\ln 7} \tan(2x)$.

Теперь подставим значение $x = \frac{\pi}{8}$ в полученное выражение для производной:

$y'(\frac{\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \tan(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \tan(\frac{2\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \tan(\frac{\pi}{4})$.

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) равно 1: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, значение производной в указанной точке:

$y'(\frac{\pi}{8}) = -\frac{2}{\ln 7} \cdot 1 = -\frac{2}{\ln 7}$.

Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: $-\frac{2}{\ln 7}$.