Номер 12, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12. Вычислите интеграл $ \int_{1}^{2}\left(3^{x}-\frac{3}{x}\right)dx: $
A) $ \frac{6}{\ln 3}+3 \ln 2; $
B) $ \frac{3}{\ln 3}-\ln 8; $
C) $ \frac{6}{\ln 3}-3 \ln 2; $
D) $ \frac{9}{\ln 3}-3 \ln 2. $

Для вычисления данного определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции и затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

1. Нахождение первообразной

Подынтегральная функция представляет собой разность двух функций: $ f(x) = 3^x $ и $ g(x) = \frac{3}{x} $. Интеграл от разности равен разности интегралов:

$ \int (3^x - \frac{3}{x})dx = \int 3^x dx - \int \frac{3}{x} dx $

Найдём первообразную для каждой части по отдельности, используя табличные интегралы:

Первообразная для показательной функции $ a^x $ находится по формуле $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} $. В нашем случае $ a=3 $, поэтому:

$ \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} $

Первообразная для функции $ \frac{k}{x} $ находится по формуле $ \int \frac{k}{x} dx = k \ln|x| $. В нашем случае $ k=3 $, поэтому:

$ \int \frac{3}{x} dx = 3 \ln|x| $

Таким образом, общая первообразная для функции $ 3^x - \frac{3}{x} $ равна:

$ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| $

2. Вычисление по формуле Ньютона-Лейбница

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $ для пределов интегрирования от 1 до 2:

$ \int_{1}^{2} (3^x - \frac{3}{x})dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} - 3 \ln|x| \right]_{1}^{2} $

Подставим сначала верхний предел $ x=2 $:

$ F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} - 3 \ln|2| = \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 $

Затем подставим нижний предел $ x=1 $:

$ F(1) = \frac{3^1}{\ln 3} - 3 \ln|1| = \frac{3}{\ln 3} - 3 \cdot 0 = \frac{3}{\ln 3} $

Вычтем из значения в верхней точке значение в нижней точке:

$ F(2) - F(1) = \left( \frac{9}{\ln 3} - 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{3}{\ln 3} \right) = \frac{9}{\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{9 - 3}{\ln 3} - 3 \ln 2 = \frac{6}{\ln 3} - 3 \ln 2 $

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $ \frac{6}{\ln 3} - 3\ln 2 $