Вопросы, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. На какое свойство степени с положительным и отличным от единицы основанием опирается решение показательного уравнения способом приведения к одинаковым основаниям?

2. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям? Ответ обоснуйте.

3. Справедливо ли утверждение о том, что если $a > 0$, $a \neq 1$ и $p$ — любое положительное число, то уравнение $a^x = p$ имеет только один действительный корень (рациональный или иррациональный)? Ответ обоснуйте и приведите пример.

4. Согласны ли вы с утверждением, что действия над выражениями вида $a^x$, в которых $x$ является любым действительным числом, можно выполнять по тем же правилам, по которым они выполняются над степенями с целым положительным показателем? Ответ обоснуйте.

5. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

1. На какое свойство степени с положительным и отличным от единицы основанием опирается решение показательного уравнения способом приведения к одинаковым основаниям?

Решение показательного уравнения вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ способом приведения к одинаковым основаниям опирается на свойство монотонности показательной функции $y = a^x$ при $a > 0$ и $a \neq 1$.

Поскольку показательная функция является строго монотонной (строго возрастает при $a > 1$ и строго убывает при $0 < a < 1$), она каждое своё значение принимает только один раз. Это означает, что если значения функции для двух разных аргументов равны, то и сами аргументы должны быть равны.

Формально это свойство записывается так: если $a^{x_1} = a^{x_2}$ (где $a > 0, a \neq 1$), то из этого следует, что $x_1 = x_2$. Именно это позволяет от равенства степеней с одинаковыми основаниями перейти к равенству их показателей.

Ответ: Решение опирается на свойство, согласно которому, если две степени с одинаковым положительным и отличным от единицы основанием равны, то равны и их показатели. Это является следствием строгой монотонности показательной функции.

2. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям? Ответ обоснуйте.

Нет, не всегда. Этот способ применим только в тех случаях, когда все степени, входящие в уравнение, можно представить как степени с одним и тем же основанием.

Обоснование:

Например, уравнение $9^x = 27^{x-1}$ можно решить этим способом, так как и $9$, и $27$ являются степенями числа $3$: $9 = 3^2$, $27 = 3^3$. Уравнение приводится к виду $(3^2)^x = (3^3)^{x-1}$ или $3^{2x} = 3^{3x-3}$, откуда $2x = 3x-3$ и $x = 3$.

Однако рассмотрим уравнение $2^x = 5$. Числа $2$ и $5$ являются взаимно простыми, и невозможно представить $5$ как рациональную степень числа $2$. Поэтому привести это уравнение к виду $2^{f(x)} = 2^{g(x)}$ невозможно. Такие уравнения решаются другими методами, например, с помощью логарифмирования обеих частей: $x = \log_2 5$. Ещё более сложный пример — уравнение $2^x + 3^x = 5^x$, где основания $2, 3, 5$ различны и не приводятся к общему.

Ответ: Нет, не всегда. Этот метод работает только для уравнений, в которых все основания степеней являются степенями одного и того же числа.

3. Справедливо ли утверждение о том, что если $a > 0, a \neq 1$ и $p$ — любое положительное число, то уравнение $a^x = p$ имеет только один действительный корень (рациональный или иррациональный)? Ответ обоснуйте и приведите пример.

Да, данное утверждение справедливо.

Обоснование:

Это следует из свойств показательной функции $y = a^x$ при $a > 0, a \neq 1$:

1. Область значений: Областью значений показательной функции являются все положительные действительные числа, то есть $E(y) = (0; +\infty)$. Это значит, что для любого положительного числа $p$ найдется такое значение $x$, что $a^x = p$.

2. Монотонность: Показательная функция является строго монотонной на всей своей области определения. Если $a > 1$, она строго возрастает; если $0 < a < 1$, она строго убывает. Из-за строгой монотонности функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Следовательно, для каждого $p > 0$ существует единственное значение $x$, при котором $a^x=p$. Этот единственный корень по определению называется логарифмом числа $p$ по основанию $a$ и записывается как $x = \log_a p$.

Примеры:

- Уравнение $2^x = 16$. Здесь $a=2 > 0, a \neq 1$ и $p=16 > 0$. Оно имеет единственный действительный корень $x = \log_2 16 = 4$. Этот корень является рациональным.

- Уравнение $5^x = 10$. Здесь $a=5 > 0, a \neq 1$ и $p=10 > 0$. Оно также имеет единственный действительный корень $x = \log_5 10$. Это число является иррациональным.

Ответ: Да, утверждение справедливо. Это следует из того, что показательная функция $y = a^x$ строго монотонна и ее область значений — все положительные числа.

4. Согласны ли вы с утверждением, что действия над выражениями вида $a^x$, в которых $x$ является любым действительным числом, можно выполнять по тем же правилам, по которым они выполняются над степенями с целым положительным показателем? Ответ обоснуйте.

Да, я согласен с этим утверждением.

Обоснование:

Понятие степени исторически расширялось: сначала были определены степени с натуральным показателем, затем с целым, затем с рациональным и, наконец, с действительным. Ключевым принципом при каждом таком расширении было сохранение основных свойств степени. Определение степени с иррациональным показателем вводится таким образом, чтобы все известные для рациональных показателей правила остались в силе.

Основные правила (свойства) для степеней, которые справедливы для любых действительных показателей $x, y$ и положительных оснований $a, b$:

1. $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ (произведение степеней с одинаковым основанием)

2. $a^x / a^y = a^{x-y}$ (частное степеней с одинаковым основанием)

3. $(a^x)^y = a^{xy}$ (возведение степени в степень)

4. $(ab)^x = a^x b^x$ (возведение в степень произведения)

5. $(a/b)^x = a^x / b^x$ (возведение в степень частного)

Эти правила являются фундаментальными и используются при любых преобразованиях выражений, содержащих степени с действительными показателями.

Ответ: Да, согласен. Понятие степени с действительным показателем вводится как обобщение степени с рациональным показателем именно с тем условием, чтобы все основные свойства действий со степенями сохранились.

5. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

Основной смысл метода введения новой переменной (или метода подстановки) заключается в том, чтобы свести сложное показательное уравнение к более простому, как правило, алгебраическому уравнению (линейному, квадратному, дробно-рациональному и т.д.), которое мы уже умеем решать стандартными способами.

Алгоритм этого метода выглядит так:

1. В исходном уравнении находится повторяющееся показательное выражение, например, $a^{f(x)}$.

2. Это выражение заменяется новой переменной, например, $t = a^{f(x)}$. При этом важно учитывать, что новая переменная будет иметь ограничения (поскольку $a^{f(x)} > 0$, то и $t > 0$).

3. Исходное уравнение переписывается относительно новой переменной $t$, в результате чего получается более простое уравнение.

4. Полученное простое уравнение решается относительно $t$.

5. Производится обратная замена: для каждого найденного корня $t_i$, удовлетворяющего ограничениям (т.е. $t_i > 0$), решается простейшее показательное уравнение $a^{f(x)} = t_i$.

Например, уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ можно переписать как $(2^x)^2 - 5 \cdot (2^x) + 4 = 0$. Введя замену $t = 2^x$ (где $t > 0$), мы получаем простое квадратное уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$, которое легко решается.

Ответ: Основной смысл метода — упрощение исходного показательного уравнения путем его преобразования в более простое алгебраическое уравнение через замену повторяющегося показательного выражения на новую переменную.