Номер 23.2, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.2.1) $8^x = 16$;

2) $25^x = \frac{1}{5}$;

3) $4^{3-2x} = 4^{2-x}$;

4) $2^{x-2} = 1$.

1) Для решения показательного уравнения $8^x = 16$ необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $8$ и $16$ являются степенями числа $2$, а именно $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^3)^x = 2^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть:

$2^{3x} = 2^4$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 4$

Решая это простое линейное уравнение, находим $x$:

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) Решим уравнение $25^x = \frac{1}{5}$. Приведем обе части к общему основанию $5$. Известно, что $25 = 5^2$ и по определению степени с отрицательным показателем $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Подставим это в уравнение:

$(5^2)^x = 5^{-1}$

Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ к левой части, получаем:

$5^{2x} = 5^{-1}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x = -1$

Отсюда находим $x$:

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) В уравнении $4^{3-2x} = 4^{2-x}$ основания степеней в обеих частях уже равны (основание $4$). В таких случаях можно сразу приравнять показатели степеней:

$3 - 2x = 2 - x$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$3 - 2 = 2x - x$

$1 = x$

Ответ: $1$

4) Рассмотрим уравнение $2^{x-2} = 1$. Для его решения необходимо представить правую часть (число $1$) в виде степени с тем же основанием, что и в левой части (основание $2$). Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице, следовательно, $1 = 2^0$. Подставим это в уравнение:

$2^{x-2} = 2^0$

Поскольку основания степеней теперь равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2 = 0$

Решая это уравнение, получаем:

$x = 2$

Ответ: $2$