Номер 23.4, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.4.1) $3^{2x+1} = 9^{2x};$

2) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0;$

3) $2 \cdot 9^x - 3^{x+1} - 9 = 0;$

4) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 = 0.$

1) Исходное уравнение: $3^{2x+1} = 9^{2x}$.

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае, это основание $3$.

Представим $9$ как степень $3$: $9 = 3^2$.

Подставим это в уравнение: $3^{2x+1} = (3^2)^{2x}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим правую часть: $3^{2x+1} = 3^{4x}$.

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x + 1 = 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$1 = 4x - 2x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Ответ: $x = 0.5$.

2) Исходное уравнение: $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0$.

Данное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид: $2t^2 - 3t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$ для корня $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

3) Исходное уравнение: $2 \cdot 9^x - 3^{x+1} - 9 = 0$.

Приведем все степени к основанию $3$. Используем свойства степеней: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x - 9 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 9 = 0$.

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.

$t_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3+9}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$t_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3-9}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.

Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

4) Исходное уравнение: $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 = 0$.

Это уравнение также сводится к квадратному. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 25 = 0$.

Сделаем замену $t = 5^x$, при условии $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 26t + 25 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, его корни легко находятся по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 26$

$t_1 \cdot t_2 = 25$

Отсюда следует, что $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $5^x = t_1 \Rightarrow 5^x = 1$. Так как любое число в степени $0$ равно $1$, то $5^x = 5^0$, откуда $x = 0$.

2) $5^x = t_2 \Rightarrow 5^x = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $5^x = 5^2$, откуда $x = 2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.