Номер 23.10, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (23.10–23.11):

23.10. 1)

$$\begin{cases} 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 5^y = 11, \\ 5 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^y = 24; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 2^x - 2^y = 1, \\ 2^{3x} - 2^{3y} = 7. \end{cases}$$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 5^y = 11, \\ 5 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^y = 24. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = 4^x$ и $b = 5^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a + 3b = 11, \\ 5a + 4b = 24. \end{cases} $

Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы избавиться от переменной $a$.

$ \begin{cases} 10a + 15b = 55, \\ -10a - 8b = -48. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(10a - 10a) + (15b - 8b) = 55 - 48$

$7b = 7$

$b = 1$

Подставим значение $b = 1$ в первое уравнение системы для $a$ и $b$: $2a + 3 \cdot 1 = 11$.

$2a + 3 = 11$

$2a = 11 - 3$

$2a = 8$

$a = 4$

Мы получили $a = 4$ и $b = 1$. Оба значения положительны, что соответствует условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

$4^x = a \implies 4^x = 4 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$.

$5^y = b \implies 5^y = 1 \implies 5^y = 5^0 \implies y = 0$.

Проверим решение $(1; 0)$:

$2 \cdot 4^1 + 3 \cdot 5^0 = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$.

$5 \cdot 4^1 + 4 \cdot 5^0 = 5 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 20 + 4 = 24$.

Оба равенства верны.

Ответ: $(1; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x - 2^y = 1, \\ 2^{3x} - 2^{3y} = 7. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как $a > 0$ и $b > 0$.

Заметим, что $2^{3x} = (2^x)^3 = a^3$ и $2^{3y} = (2^y)^3 = b^3$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = 1, \\ a^3 - b^3 = 7. \end{cases} $

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения.

Подставим значение $a - b = 1$ из первого уравнения во второе:

$1 \cdot (a^2 + ab + b^2) = 7$

$a^2 + ab + b^2 = 7$

Теперь у нас есть новая система:

$ \begin{cases} a = b + 1, \\ a^2 + ab + b^2 = 7. \end{cases} $

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 7$

$(b^2 + 2b + 1) + (b^2 + b) + b^2 = 7$

$3b^2 + 3b + 1 = 7$

$3b^2 + 3b - 6 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$b^2 + b - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$.

Так как $b = 2^y$, то $b$ должно быть положительным. Следовательно, корень $b = -2$ не подходит.

Остается единственное решение $b = 1$.

Найдем $a$ из уравнения $a = b + 1$: $a = 1 + 1 = 2$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$.

$2^x = a \implies 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

$2^y = b \implies 2^y = 1 \implies 2^y = 2^0 \implies y = 0$.

Проверим решение $(1; 0)$:

$2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 1$.

$2^{3 \cdot 1} - 2^{3 \cdot 0} = 2^3 - 2^0 = 8 - 1 = 7$.

Оба равенства верны.

Ответ: $(1; 0)$.