Номер 23.16, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (23.16–23.17):

23.16. 1)

$ \begin{cases} \sqrt[x-1]{49} = \sqrt[y-1]{343}, \\ 3^y = 9^{2x-y}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 5 \cdot 3^{x-1} - 3 \cdot 2^y = -1, \\ 3^{x+1} + 5 \cdot 2^{y-1} = 14. \end{cases} $

1) Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - (x-1)\sqrt{49} = y - (y-1)\sqrt[3]{343} \\ 3^y = 9^{2x-y} \end{cases} $$

В первом уравнении выражения $(x-1)$ и $(y-1)$ расположены перед знаками корня, поэтому мы будем считать их множителями.

Упростим первое уравнение. Для этого вычислим значения корней: $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt[3]{343} = 7$.

$$ x - (x-1) \cdot 7 = y - (y-1) \cdot 7 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ x - 7x + 7 = y - 7y + 7 $$

$$ -6x + 7 = -6y + 7 $$

Вычтем 7 из обеих частей уравнения, а затем разделим на -6:

$$ -6x = -6y $$

$$ x = y $$

Теперь упростим второе уравнение системы. Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$$ 3^y = (3^2)^{2x-y} $$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$$ 3^y = 3^{2(2x-y)} $$

$$ 3^y = 3^{4x-2y} $$

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$$ y = 4x - 2y $$

$$ 3y = 4x $$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x = y \\ 3y = 4x \end{cases} $$

Подставим $x=y$ во второе уравнение:

$$ 3y = 4y $$

$$ 4y - 3y = 0 $$

$$ y = 0 $$

Поскольку $x=y$, то $x$ также равен 0. Решение системы — $(0, 0)$.

Выполним проверку, подставив $x=0$ и $y=0$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $0 - (0-1)\sqrt{49} = 0 - (0-1)\sqrt[3]{343} \implies -(-1) \cdot 7 = -(-1) \cdot 7 \implies 7 = 7$. Верно.

Второе уравнение: $3^0 = 9^{2 \cdot 0 - 0} \implies 1 = 9^0 \implies 1 = 1$. Верно.

Ответ: $(0, 0)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5 \cdot 3^{x-1} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3^{x+1} + 5 \cdot 2^{y-1} = 14 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$$ \begin{cases} 5 \cdot \frac{3^x}{3} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3^x \cdot 3 + 5 \cdot \frac{2^y}{2} = 14 \end{cases} $$

Для упрощения системы введем новые переменные. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^y$. Так как показательные функции всегда положительны, $a > 0$ и $b > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} \frac{5}{3}a - 3b = -1 \\ 3a + \frac{5}{2}b = 14 \end{cases} $$

Избавимся от дробей, умножив первое уравнение на 3, а второе на 2:

$$ \begin{cases} 5a - 9b = -3 \\ 6a + 5b = 28 \end{cases} $$

Решим полученную систему линейных уравнений методом исключения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 9, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 25a - 45b = -15 \\ 54a + 45b = 252 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$$ (25a - 45b) + (54a + 45b) = -15 + 252 $$

$$ 79a = 237 $$

$$ a = \frac{237}{79} = 3 $$

Теперь подставим значение $a=3$ в уравнение $5a - 9b = -3$, чтобы найти $b$:

$$ 5(3) - 9b = -3 $$

$$ 15 - 9b = -3 $$

$$ -9b = -18 $$

$$ b = 2 $$

Мы нашли значения $a=3$ и $b=2$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ 3^x = a \implies 3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1 $$

$$ 2^y = b \implies 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1 $$

Решение системы — $(1, 1)$.

Выполним проверку, подставив $x=1$ и $y=1$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $5 \cdot 3^{1-1} - 3 \cdot 2^1 = 5 \cdot 3^0 - 3 \cdot 2 = 5 \cdot 1 - 6 = -1$. Верно.

Второе уравнение: $3^{1+1} + 5 \cdot 2^{1-1} = 3^2 + 5 \cdot 2^0 = 9 + 5 \cdot 1 = 14$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.