Номер 24.5, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (24.5—24.7):

24.5. 1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 80, \\ \log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \lg x + \lg y = \lg 2, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2+y^2=80, \\ \log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических выражений определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2 (xy) = 5$

Из определения логарифма следует:

$xy = 2^5$

$xy = 32$

Теперь система уравнений принимает более простой вид:

$ \begin{cases} x^2+y^2=80, \\ xy = 32. \end{cases} $

Это симметрическая система. Мы можем использовать формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$. Подставим в нее известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 80 + 2 \cdot 32 = 80 + 64 = 144$

Поскольку согласно ОДЗ $x > 0$ и $y > 0$, их сумма $x+y$ также должна быть положительной. Следовательно:

$x+y = \sqrt{144} = 12$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных соотношений между $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x+y=12, \\ xy = 32. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - 12t + 32 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8$

Таким образом, если $x=4$, то $y=8$, и если $x=8$, то $y=4$. Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4; 8), (8; 4)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \lg x + \lg y = \lg 2, \\ x^2+y^2=5; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\lg(xy) = \lg 2$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$xy = 2$

Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} xy=2, \\ x^2+y^2=5. \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$:

$(x+y)^2 = 5 + 2 \cdot 2 = 9$

Учитывая ОДЗ ($x > 0, y > 0$), имеем $x+y > 0$, поэтому:

$x+y = \sqrt{9} = 3$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x+y=3, \\ xy = 2. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Это уравнение легко решается разложением на множители:

$(t-1)(t-2) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.