Номер 24.6, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.6. 1)

$\begin{cases} \log_2 (x + y) = 3, \\ \log_{15} x = 1 - \log_{15} y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_3 (xy) = 2 + \log_3 2, \\ \log_3 (x + y) = 2. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}\log_2(x+y) = 3 \\\log_{15}x = 1 - \log_{15}y\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x+y > 0$

$x > 0$

$y > 0$

Из условий $x > 0$ и $y > 0$ автоматически следует, что $x+y > 0$. Таким образом, ОДЗ системы: $x > 0$ и $y > 0$.

Теперь преобразуем каждое уравнение системы.

Из первого уравнения $\log_2(x+y) = 3$, по определению логарифма, получаем:

$x+y = 2^3$

$x+y = 8$

Рассмотрим второе уравнение $\log_{15}x = 1 - \log_{15}y$. Перенесем $\log_{15}y$ в левую часть:

$\log_{15}x + \log_{15}y = 1$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, получим:

$\log_{15}(xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 15^1$

$xy = 15$

Теперь решаем полученную систему алгебраических уравнений:$\begin{cases}x+y = 8 \\xy = 15\end{cases}$

Эта система является классической и может быть решена по теореме, обратной теореме Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5$

Таким образом, решениями являются пары чисел $(3; 5)$ и $(5; 3)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $y > 0$).

Ответ: $(3; 5), (5; 3)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}\log_3(xy) = 2 + \log_3 2 \\\log_3(x+y) = 2\end{cases}$

Определим ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$xy > 0$

$x+y > 0$

Условие $xy > 0$ означает, что $x$ и $y$ одного знака. Условие $x+y > 0$ означает, что их сумма положительна. Это возможно только если оба числа положительны. Следовательно, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение: $\log_3(xy) = 2 + \log_3 2$.

Представим 2 как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.

$\log_3(xy) = \log_3 9 + \log_3 2$

Используя свойство суммы логарифмов:

$\log_3(xy) = \log_3(9 \cdot 2)$

$\log_3(xy) = \log_3(18)$

Отсюда получаем:

$xy = 18$

Преобразуем второе уравнение: $\log_3(x+y) = 2$.

По определению логарифма:

$x+y = 3^2$

$x+y = 9$

Получили систему алгебраических уравнений:$\begin{cases}x+y = 9 \\xy = 18\end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 18 = 0$.

Найдем корни, решив уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.

$t_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3$

$t_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6$

Таким образом, решениями являются пары чисел $(3; 6)$ и $(6; 3)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $y > 0$).

Ответ: $(3; 6), (6; 3)$.