Номер 24.13, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.13. 1) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 972, \\ \log_{\sqrt{3}}(x - y) = 2. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4. \end{cases} $

Начнем со второго уравнения. По определению логарифма, основание в степени значения логарифма равно аргументу. Также учтем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля, то есть $y - x > 0$.

Из второго уравнения получаем:

$y - x = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{1/2 \cdot 4} = 2^2 = 4$.

Получили $y - x = 4$, что удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$). Выразим $y$ через $x$:

$y = x + 4$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем уравнение:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$.

Используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$ и вычислив $2^4 = 16$, получим:

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$,

$6^x \cdot 16 = 576$.

Разделим обе части на 16:

$6^x = \frac{576}{16} = 36$.

Поскольку $36 = 6^2$, имеем:

$6^x = 6^2$.

Отсюда следует, что $x = 2$.

Теперь найдем $y$, используя ранее полученное соотношение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 6)$.

Ответ: $(2; 6)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 972, \\ \log_{\sqrt{3}}(x - y) = 2. \end{cases} $

Начнем со второго уравнения. ОДЗ для логарифма: $x - y > 0$.

По определению логарифма:

$x - y = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Полученное значение $x - y = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$). Выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3^{y+3} \cdot 2^y = 972$.

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$3^y \cdot 3^3 \cdot 2^y = 972$.

$(3 \cdot 2)^y \cdot 27 = 972$,

$6^y \cdot 27 = 972$.

Разделим обе части на 27:

$6^y = \frac{972}{27} = 36$.

Так как $36 = 6^2$, получаем:

$6^y = 6^2$.

Отсюда $y = 2$.

Теперь найдем $x$ из соотношения $x = y + 3$:

$x = 2 + 3 = 5$.

Решение системы — пара чисел $(5; 2)$.

Ответ: $(5; 2)$.