Номер 24.18, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (24.18–24.20):

24.18. 1)

$ \begin{cases} \log_8 (x + y) + \log_8 (7 - y) = 1 + \log_8 5, \\ 2^{\log_2 (x - y)} = 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^{\log_3 (3 y - x + 24)} = 27, \\ \log_2 (2x - 2y) - \log_2 (5 - y^2) = 1. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:$\begin{cases}\log_8(x + y) + \log_8(7 - y) = 1 + \log_8 5, \\2^{\log_2(x - y)} = 4;\end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$\begin{cases}x + y > 0 \\7 - y > 0 \\x - y > 0\end{cases}$

Из второго и третьего неравенств получаем $y < 7$ и $x > y$.

Рассмотрим второе уравнение системы. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:$x - y = 4$.Отсюда можно выразить $x = y + 4$.

Подставим $x = y + 4$ в первое неравенство ОДЗ:$(y + 4) + y > 0 \implies 2y + 4 > 0 \implies 2y > -4 \implies y > -2$.Таким образом, для $y$ имеем ограничения: $-2 < y < 7$.

Теперь преобразуем первое уравнение системы. Представим 1 как $\log_8 8$ и воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:$\log_8(x + y) + \log_8(7 - y) = \log_8 8 + \log_8 5$$\log_8((x + y)(7 - y)) = \log_8(8 \cdot 5)$$\log_8((x + y)(7 - y)) = \log_8(40)$Приравнивая аргументы логарифмов, получаем:$(x + y)(7 - y) = 40$.

Теперь у нас есть система из двух простых уравнений:$\begin{cases}x - y = 4 \\(x + y)(7 - y) = 40\end{cases}$

Подставим $x = y + 4$ во второе уравнение:$((y + 4) + y)(7 - y) = 40$$(2y + 4)(7 - y) = 40$$14y - 2y^2 + 28 - 4y = 40$$-2y^2 + 10y + 28 - 40 = 0$$-2y^2 + 10y - 12 = 0$Разделим уравнение на -2:$y^2 - 5y + 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:$y_1 = 2$, $y_2 = 3$.Оба значения удовлетворяют условию ОДЗ $-2 < y < 7$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ из уравнения $x = y + 4$:1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 4 = 6$. Получаем решение $(6, 2)$.2. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 3 + 4 = 7$. Получаем решение $(7, 3)$.

Проверим оба решения по ОДЗ:Для $(6, 2)$: $x+y=8>0$, $7-y=5>0$, $x-y=4>0$. Все условия выполнены.Для $(7, 3)$: $x+y=10>0$, $7-y=4>0$, $x-y=4>0$. Все условия выполнены.

Ответ: $(6, 2), (7, 3)$.

2)

Дана система уравнений:$\begin{cases}3^{\log_3(8y - x + 24)} = 27, \\\log_2(2x - 2y) - \log_2(5 - y^2) = 1.\end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):$\begin{cases}8y - x + 24 > 0 \\2x - 2y > 0 \\5 - y^2 > 0\end{cases}$

Из второго неравенства: $2(x - y) > 0 \implies x > y$.Из третьего неравенства: $y^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$.

Упростим первое уравнение системы. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и тот факт, что $27=3^3$, получаем:$8y - x + 24 = 27$$8y - x = 3$$x = 8y - 3$.

Упростим второе уравнение системы. Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, получаем:$\log_2\left(\frac{2x - 2y}{5 - y^2}\right) = 1$По определению логарифма:$\frac{2x - 2y}{5 - y^2} = 2^1$$\frac{2(x - y)}{5 - y^2} = 2$Разделим обе части на 2:$\frac{x - y}{5 - y^2} = 1$$x - y = 5 - y^2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases}x = 8y - 3 \\x - y = 5 - y^2\end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:$(8y - 3) - y = 5 - y^2$$7y - 3 = 5 - y^2$$y^2 + 7y - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:$y_1 = 1$, $y_2 = -8$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($-\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$).Приблизительно $\sqrt{5} \approx 2.23$, поэтому интервал для $y$ примерно $(-2.23, 2.23)$.1. $y_1 = 1$ входит в этот интервал.2. $y_2 = -8$ не входит в этот интервал, следовательно, это посторонний корень.

Единственное подходящее значение для $y$ это 1. Найдем соответствующее значение $x$:$x = 8y - 3 = 8(1) - 3 = 5$.Получили решение $(5, 1)$.

Проверим это решение по всем условиям ОДЗ:1. $8y - x + 24 = 8(1) - 5 + 24 = 3 + 24 = 27 > 0$. Верно.2. $x > y \implies 5 > 1$. Верно.3. $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5} \implies -\sqrt{5} < 1 < \sqrt{5}$. Верно.Решение удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $(5, 1)$.