Номер 24.15, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (24.15—24.17):

24.15. 1) $x^{\log_3 x - 2} = 27$; 2) $x^{\log_2 x - 3} = 16$;

3) $x^{3 - \log_3 x} = 9$; 4) $x^{\log_5 x + 2} = 125$.

1) Исходное уравнение: $x^{\log_3 x - 2} = 27$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$, так как переменная находится и в основании степени, и под знаком логарифма. Для решения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, которое соответствует основанию логарифма в показателе степени. Получим: $\log_3(x^{\log_3 x - 2}) = \log_3(27)$. Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ для левой части и вычислим логарифм в правой части: $\log_3(27) = \log_3(3^3) = 3$. Уравнение примет вид: $(\log_3 x - 2) \cdot \log_3 x = 3$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение становится квадратным относительно $t$: $t(t-2) = 3$, что равносильно $t^2 - 2t - 3 = 0$. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Выполним обратную замену: 1. Если $\log_3 x = 3$, то $x_1 = 3^3 = 27$. 2. Если $\log_3 x = -1$, то $x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $27; \frac{1}{3}$.

2) Исходное уравнение: $x^{\log_2 x - 3} = 16$. ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $\log_2(x^{\log_2 x - 3}) = \log_2(16)$. Применяя свойство логарифма степени и вычисляя логарифм справа ($\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$), получаем: $(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4$. Введем замену $t = \log_2 x$. Уравнение преобразуется в квадратное: $t(t - 3) = 4$, или $t^2 - 3t - 4 = 0$. Найдем корни по теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение равно -4. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$. Возвращаемся к переменной $x$: 1. Если $\log_2 x = 4$, то $x_1 = 2^4 = 16$. 2. Если $\log_2 x = -1$, то $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Оба корня положительны и входят в ОДЗ.

Ответ: $16; \frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $x^{3 - \log_3 x} = 9$. ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: $\log_3(x^{3 - \log_3 x}) = \log_3(9)$. Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$: $(3 - \log_3 x) \cdot \log_3 x = 2$. Пусть $t = \log_3 x$. Получаем квадратное уравнение: $(3 - t)t = 2$, что равносильно $3t - t^2 = 2$, или $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения по теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Выполним обратную замену: 1. Если $\log_3 x = 1$, то $x_1 = 3^1 = 3$. 2. Если $\log_3 x = 2$, то $x_2 = 3^2 = 9$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 9$.

4) Исходное уравнение: $x^{\log_5 x + 2} = 125$. ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5: $\log_5(x^{\log_5 x + 2}) = \log_5(125)$. Используя свойство логарифма степени и то, что $\log_5(125) = \log_5(5^3) = 3$, получаем: $(\log_5 x + 2) \cdot \log_5 x = 3$. Введем замену $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид: $t(t + 2) = 3$, или $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$. Возвращаемся к переменной $x$: 1. Если $\log_5 x = 1$, то $x_1 = 5^1 = 5$. 2. Если $\log_5 x = -3$, то $x_2 = 5^{-3} = \frac{1}{125}$. Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; \frac{1}{125}$.