Номер 24.17, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.17. 1) $4^{\log_8(2x-2)} \cdot 0,5^{\log_8(2x-2)} = \sqrt[3]{16}$;

2) $\log_x \sqrt{5} + \log_x (5x) - \frac{9}{4} = (\log_x \sqrt{5})^2$;

3) $\log_{x+4} (x^4 + x^2 + 2x)\log_{x+1} (x+4) = 2$;

4) $(x+1)^{\log_3(x-2)} + 2(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3x^2 + 6x + 3.$

1) Исходное уравнение: $4^{\log_8(2x-2)} \cdot 0,5^{\log_8(2x-2)} = \sqrt[3]{16}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$2x - 2 > 0 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:

$(4 \cdot 0,5)^{\log_8(2x-2)} = 2^{\log_8(2x-2)}$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{\log_8(2x-2)} = 2^{\frac{4}{3}}$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$\log_8(2x-2) = \frac{4}{3}$.

По определению логарифма $y = \log_a b \iff a^y = b$, получаем:

$2x - 2 = 8^{\frac{4}{3}}$.

Вычислим значение $8^{\frac{4}{3}}$:

$8^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16$.

Подставим это значение обратно в уравнение и решим его относительно $x$:

$2x - 2 = 16 \implies 2x = 18 \implies x = 9$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 1$).

$9 > 1$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $9$.

2) Исходное уравнение: $\log_x \sqrt{5} + \log_x (5x) - \frac{9}{4} = (\log_x \sqrt{5})^2$.

Определим ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргументы логарифмов - положительными:

$x > 0, x \ne 1$.

$\sqrt{5} > 0$ (верно).

$5x > 0 \implies x > 0$.

Итоговая ОДЗ: $x > 0, x \ne 1$.

Упростим логарифмы в уравнении, используя свойства $\log_a b^c = c\log_a b$ и $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_x \sqrt{5} = \log_x 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_x 5$.

$\log_x (5x) = \log_x 5 + \log_x x = \log_x 5 + 1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}\log_x 5 + (\log_x 5 + 1) - \frac{9}{4} = (\frac{1}{2}\log_x 5)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_x 5$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{2}t + t + 1 - \frac{9}{4} = \frac{1}{4}t^2$.

Приведем подобные слагаемые и упростим:

$\frac{3}{2}t - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}t^2$.

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$6t - 5 = t^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Теперь выполним обратную замену:

Случай 1: $t = 1 \implies \log_x 5 = 1 \implies x^1 = 5 \implies x = 5$.

Случай 2: $t = 5 \implies \log_x 5 = 5 \implies x^5 = 5 \implies x = \sqrt[5]{5}$.

Оба корня ($5$ и $\sqrt[5]{5}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \ne 1$).

Ответ: $5; \sqrt[5]{5}$.

3) Исходное уравнение: $\log_{x+4}(x^4+x^2+2x)\log_{x+1}(x+4) = 2$.

ОДЗ:

$x+4 > 0 \implies x > -4$.

$x+4 \ne 1 \implies x \ne -3$.

$x+1 > 0 \implies x > -1$.

$x+1 \ne 1 \implies x \ne 0$.

$x^4+x^2+2x > 0 \implies x(x^3+x+2) > 0$.

Объединяя первые четыре условия, получаем $x > -1, x \ne 0$.

Для последнего условия: $x(x^3+x+2) = x(x+1)(x^2-x+2)$. Так как дискриминант $x^2-x+2$ равен $-7 < 0$, этот множитель всегда положителен. Значит, нам нужно, чтобы $x(x+1)>0$, что верно при $x>0$ или $x<-1$.

Пересекая все условия, получаем итоговую ОДЗ: $x > 0$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифмов: $\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b$. В нашем случае это можно записать как $\log_{x+4}(A) \cdot \frac{1}{\log_{x+4}(x+1)} = \frac{\log_{x+4}(A)}{\log_{x+4}(x+1)} = \log_{x+1}(A)$.

Применим это к уравнению:

$\log_{x+1}(x^4+x^2+2x) = 2$.

По определению логарифма:

$x^4+x^2+2x = (x+1)^2$.

Раскроем скобки в правой части:

$x^4+x^2+2x = x^2+2x+1$.

Упростим уравнение:

$x^4 = 1$.

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 0$).

$x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

$x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $(x+1)^{\log_3(x-2)} + 2(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3x^2+6x+3$.

ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны.

$x-2 > 0 \implies x > 2$.

$x+1 > 0 \implies x > -1$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 2$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в виде $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его ко второму слагаемому в левой части:

$(x-2)^{\log_3(x+1)} = (x+1)^{\log_3(x-2)}$.

Подставим это в уравнение:

$(x+1)^{\log_3(x-2)} + 2(x+1)^{\log_3(x-2)} = 3x^2+6x+3$.

Сложим слагаемые в левой части:

$3 \cdot (x+1)^{\log_3(x-2)} = 3x^2+6x+3$.

Разложим на множители правую часть:

$3x^2+6x+3 = 3(x^2+2x+1) = 3(x+1)^2$.

Уравнение принимает вид:

$3 \cdot (x+1)^{\log_3(x-2)} = 3(x+1)^2$.

Разделим обе части на 3:

$(x+1)^{\log_3(x-2)} = (x+1)^2$.

Это показательное уравнение вида $a^f = a^g$. Решения могут быть в двух случаях:

1. Основание $a=1$. То есть $x+1=1 \implies x=0$. Этот корень не входит в ОДЗ ($x>2$).

2. Показатели степеней равны: $f=g$.

$\log_3(x-2) = 2$.

Решим это логарифмическое уравнение по определению логарифма:

$x-2 = 3^2 \implies x-2 = 9 \implies x = 11$.

Проверим корень по ОДЗ ($x>2$).

$x=11$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $11$.