Номер 24.22, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.22. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = 6 - x$, $x = 0$ и $y = 2^x$;

2) $y = 5 - 2x$, $x = 0$ и $y = 3^x$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 6 - x$, $y = 2^x$ и прямой $x=0$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков, чтобы определить пределы интегрирования. Один предел интегрирования задан условием $x=0$.

Найдем точку пересечения графиков $y = 6 - x$ и $y = 2^x$ путем решения уравнения:

$6 - x = 2^x$

Это трансцендентное уравнение. Решим его методом подбора. Легко заметить, что при $x=2$ уравнение обращается в верное равенство: $6 - 2 = 4$ и $2^2 = 4$. Таким образом, графики пересекаются в точке, где $x=2$.

Теперь у нас есть пределы интегрирования: от $a=0$ до $b=2$.

Далее определим, какая из функций больше на интервале $(0, 2)$. Возьмем пробную точку, например, $x=1$:

Для $y = 6 - x$: $y(1) = 6 - 1 = 5$.

Для $y = 2^x$: $y(1) = 2^1 = 2$.

Поскольку $5 > 2$, на интервале $[0, 2]$ график функции $y = 6 - x$ расположен выше графика функции $y = 2^x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{2} ((6 - x) - 2^x) dx$

Вычислим этот определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = 6 - x - 2^x$ имеет вид $F(x) = 6x - \frac{x^2}{2} - \frac{2^x}{\ln 2}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(0) = \left. \left(6x - \frac{x^2}{2} - \frac{2^x}{\ln 2}\right) \right|_{0}^{2}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(6(2) - \frac{2^2}{2} - \frac{2^2}{\ln 2}\right) - \left(6(0) - \frac{0^2}{2} - \frac{2^0}{\ln 2}\right)$

$S = \left(12 - 2 - \frac{4}{\ln 2}\right) - \left(0 - 0 - \frac{1}{\ln 2}\right)$

$S = \left(10 - \frac{4}{\ln 2}\right) - \left(-\frac{1}{\ln 2}\right) = 10 - \frac{4}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 10 - \frac{3}{\ln 2}$

Ответ: $10 - \frac{3}{\ln 2}$.

2)

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 5 - 2x$, $y = 3^x$ и прямой $x=0$. Аналогично первому пункту, найдем пределы интегрирования.

Один предел задан: $x=0$. Найдем второй предел, решив уравнение $5 - 2x = 3^x$ для нахождения точки пересечения.

$5 - 2x = 3^x$

Подбором находим, что при $x=1$ уравнение становится верным: $5 - 2(1) = 3$ и $3^1 = 3$. Значит, второй предел интегрирования $x=1$.

Интегрировать будем в пределах от $a=0$ до $b=1$.

Определим, какая функция является верхней на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку $x=0.5$:

Для $y = 5 - 2x$: $y(0.5) = 5 - 2(0.5) = 4$.

Для $y = 3^x$: $y(0.5) = 3^{0.5} = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Поскольку $4 > \sqrt{3}$, на интервале $[0, 1]$ график функции $y = 5 - 2x$ находится выше графика $y = 3^x$.

Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности функций:

$S = \int_{0}^{1} ((5 - 2x) - 3^x) dx$

Вычислим интеграл. Первообразная для $f(x) = 5 - 2x - 3^x$ есть $F(x) = 5x - x^2 - \frac{3^x}{\ln 3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(1) - F(0) = \left. \left(5x - x^2 - \frac{3^x}{\ln 3}\right) \right|_{0}^{1}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(5(1) - 1^2 - \frac{3^1}{\ln 3}\right) - \left(5(0) - 0^2 - \frac{3^0}{\ln 3}\right)$

$S = \left(5 - 1 - \frac{3}{\ln 3}\right) - \left(0 - 0 - \frac{1}{\ln 3}\right)$

$S = \left(4 - \frac{3}{\ln 3}\right) - \left(-\frac{1}{\ln 3}\right) = 4 - \frac{3}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 3} = 4 - \frac{2}{\ln 3}$

Ответ: $4 - \frac{2}{\ln 3}$.