Номер 25.3, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.3. Решите системы неравенств:

1) $\begin{cases} 5^x > 25, \\ (\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\ 3^{4x} > 81. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases}5^x > 25, \\(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}\end{cases}$

Решим первое неравенство: $5^x > 25$.

Представим $25$ как $5^2$, получим неравенство $5^x > 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 2$.

Теперь решим второе неравенство: $(\frac{1}{3})^{x-8} < \frac{1}{27}$.

Представим $\frac{1}{27}$ как $(\frac{1}{3})^3$, получим неравенство $(\frac{1}{3})^{x-8} < (\frac{1}{3})^3$.

Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x - 8 > 3$

$x > 11$.

Решением системы является пересечение полученных решений:$\begin{cases}x > 2, \\x > 11\end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $x > 11$.

Ответ: $(11; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases}8 > (\frac{1}{2})^{6-x}, \\3^{4x} > 81\end{cases}$

Решим первое неравенство: $8 > (\frac{1}{2})^{6-x}$.

Приведем обе части к основанию $2$. Так как $8 = 2^3$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, неравенство примет вид:

$2^3 > (2^{-1})^{6-x}$

$2^3 > 2^{-(6-x)}$

$2^3 > 2^{x-6}$

Так как основание $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$3 > x - 6$

$9 > x$, или $x < 9$.

Теперь решим второе неравенство: $3^{4x} > 81$.

Представим $81$ как $3^4$, получим неравенство $3^{4x} > 3^4$.

Так как основание $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x > 4$

$x > 1$.

Решением системы является пересечение полученных решений:$\begin{cases}x < 9, \\x > 1\end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $1 < x < 9$.

Ответ: $(1; 9)$.