Номер 25.6, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите наибольшие целые значения x, удовлетворяющие неравенствам (25.6–25.7):

25.6. 1) $2^{3x} < \sqrt[5]{2}$; 2) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{x+1}{2}} > 4$; 3) $\left(\frac{1}{49}\right)^{-\frac{x}{2}} < 7$; 4) $3^{\frac{2x+1}{5}} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

1) Решим неравенство $2^{3x} < \sqrt[5]{2}$.

Сначала представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием 2. Правая часть: $\sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}$.

Неравенство принимает вид: $2^{3x} < 2^{\frac{1}{5}}$.

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется: $3x < \frac{1}{5}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3: $x < \frac{1}{3 \cdot 5}$, то есть $x < \frac{1}{15}$.

Нам нужно найти наибольшее целое значение $x$, удовлетворяющее этому условию. Поскольку $\frac{1}{15}$ - это положительное число, меньшее 1, наибольшим целым числом, которое меньше $\frac{1}{15}$, является 0.

Ответ: 0

2) Решим неравенство $(\frac{1}{8})^{\frac{x+1}{2}} > 4$.

Приведем обе части к одному основанию, например, к 2. Мы знаем, что $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$ и $4 = 2^2$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство: $(2^{-3})^{\frac{x+1}{2}} > 2^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть: $2^{-3 \cdot \frac{x+1}{2}} > 2^2$, или $2^{-\frac{3x+3}{2}} > 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $-\frac{3x+3}{2} > 2$.

Умножим обе части на 2: $-(3x+3) > 4$.

Раскроем скобки: $-3x - 3 > 4$.

Перенесем -3 в правую часть: $-3x > 7$.

Разделим обе части на -3, при этом изменив знак неравенства на противоположный: $x < -\frac{7}{3}$.

Значение $-\frac{7}{3}$ равно $-2\frac{1}{3}$. Наибольшее целое число, которое меньше $-2\frac{1}{3}$, это -3.

Ответ: -3

3) Решим неравенство $(\frac{1}{49})^{-\frac{x}{2}} < 7$.

Приведем обе части к основанию 7. Мы знаем, что $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.

Неравенство примет вид: $(7^{-2})^{-\frac{x}{2}} < 7^1$.

Упростим левую часть: $7^{(-2) \cdot (-\frac{x}{2})} < 7^1$, что дает $7^x < 7^1$.

Поскольку основание $7 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется: $x < 1$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x < 1$, это 0.

Ответ: 0

4) Решим неравенство $3^{\frac{2x+1}{5}} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Приведем обе части к основанию 3. Правая часть: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}} = 3^{-\frac{1}{3}}$.

Неравенство принимает вид: $3^{\frac{2x+1}{5}} < 3^{-\frac{1}{3}}$.

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $\frac{2x+1}{5} < -\frac{1}{3}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 15: $15 \cdot \frac{2x+1}{5} < 15 \cdot (-\frac{1}{3})$.

Получим: $3(2x+1) < -5$.

Раскроем скобки: $6x + 3 < -5$.

Перенесем 3 в правую часть: $6x < -5 - 3$, что дает $6x < -8$.

Разделим на 6: $x < -\frac{8}{6}$, или после сокращения $x < -\frac{4}{3}$.

Значение $-\frac{4}{3}$ равно $-1\frac{1}{3}$. Наибольшее целое число, которое меньше $-1\frac{1}{3}$, это -2.

Ответ: -2