Номер 25.13, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.13. 1) $(x-3)^{x^2-9} > 1;$

2) $(x-2)^{x^2-1} > 1;$

3) $(x-1)^{\frac{2x-7}{x+1}} > 1;$

4) $(x+\frac{1}{2})^{x^2-\frac{1}{4}} > 1.$

1) $(x-3)^{x^2-9} > 1$

Это показательно-степенное неравенство. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.

Неравенство вида $f(x)^{g(x)} > 1$ равносильно совокупности двух систем:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x-3 > 1 \\ x^2-9 > 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > 4$.

Второе неравенство $(x-3)(x+3) > 0$ имеет решение $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Пересекая решения $x > 4$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$, получаем $x \in (4, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x-3 < 1 \\ x^2-9 < 0\end{cases}$

Из первого двойного неравенства получаем $3 < x < 4$.

Второе неравенство $(x-3)(x+3) < 0$ имеет решение $x \in (-3, 3)$.

Пересечение множеств $(3, 4)$ и $(-3, 3)$ является пустым множеством.

Объединяя решения двух систем, получаем окончательный результат.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

2) $(x-2)^{x^2-1} > 1$

ОДЗ: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x-2 > 1 \\ x^2-1 > 0\end{cases}$

Из $x-2 > 1$ следует $x > 3$.

Из $x^2-1 > 0$, или $(x-1)(x+1) > 0$, следует $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение решений $x > 3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ дает $x \in (3, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x-2 < 1 \\ x^2-1 < 0\end{cases}$

Из $0 < x-2 < 1$ следует $2 < x < 3$.

Из $x^2-1 < 0$ следует $x \in (-1, 1)$.

Пересечение множеств $(2, 3)$ и $(-1, 1)$ пусто.

Итоговое решение является объединением решений из двух случаев.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

3) $(x-1)^{\frac{2x-7}{x+1}} > 1$

ОДЗ: основание $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Также знаменатель показателя $x+1 \neq 0$, что выполняется при $x > 1$.

Решаем совокупность двух систем:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x-1 > 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} > 0\end{cases}$

Из $x-1 > 1$ получаем $x > 2$.

Неравенство $\frac{2x-7}{x+1} > 0$ решаем методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=3.5$ и $x=-1$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (3.5, \infty)$.

Пересечение решений $x > 2$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (3.5, \infty)$ дает $x \in (3.5, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x-1 < 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} < 0\end{cases}$

Из $0 < x-1 < 1$ получаем $1 < x < 2$.

Неравенство $\frac{2x-7}{x+1} < 0$ имеет решение $x \in (-1, 3.5)$.

Пересечение решений $1 < x < 2$ и $x \in (-1, 3.5)$ дает $x \in (1, 2)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (3.5, \infty)$.

4) $(x+\frac{1}{2})^{x^2-\frac{1}{4}} > 1$

ОДЗ: $x+\frac{1}{2} > 0 \Rightarrow x > -0.5$.

Рассматриваем два случая:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x+\frac{1}{2} > 1 \\ x^2-\frac{1}{4} > 0\end{cases}$

Из $x+\frac{1}{2} > 1$ получаем $x > 0.5$.

Из $x^2-\frac{1}{4} > 0$, или $(x-0.5)(x+0.5) > 0$, получаем $x \in (-\infty, -0.5) \cup (0.5, \infty)$.

Пересечение этих решений дает $x \in (0.5, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x+\frac{1}{2} < 1 \\ x^2-\frac{1}{4} < 0\end{cases}$

Из $0 < x+\frac{1}{2} < 1$ получаем $-0.5 < x < 0.5$.

Из $x^2-\frac{1}{4} < 0$ получаем $x \in (-0.5, 0.5)$.

Пересечение этих решений дает $x \in (-0.5, 0.5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-0.5, 0.5) \cup (0.5, \infty)$.