Номер 25.11, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.11. 1) $2^{x+3} + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^{x+2} + 5^{x+1}$

2) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 9^x$

3) $5^{x+1} - 3^{x+2} > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^{x-1}$

4) $3^x + 10^{x-2} > 19 \cdot 3^{x-2} + 10^{x-3}$

1) $2^{x+3} + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^{x+1}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать неравенство:

$2^x \cdot 2^3 + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^x \cdot 5^1$

$8 \cdot 2^x + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5 \cdot 5^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем члены с $2^x$ в левую часть, а с $5^x$ в правую:

$8 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^x < 5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x$

Приведем подобные слагаемые:

$5 \cdot 2^x < 2 \cdot 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5 \cdot 5^x$. Так как это выражение всегда положительно, знак неравенства не изменится:

$\frac{2^x}{5^x} < \frac{2}{5}$

$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^1$

Основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^{2x} \cdot 2^1 - 3^{2x} \cdot 3^1 < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^{2x} < 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x}$

Приведем подобные слагаемые:

$9 \cdot 2^{2x} < 4 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части неравенства на $9 \cdot 3^{2x}$ (выражение положительно):

$\frac{2^{2x}}{3^{2x}} < \frac{4}{9}$

$(\frac{2}{3})^{2x} < (\frac{2}{3})^2$

Основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x > 2$

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $5^{x+1} - 3^{x+2} > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^{x-1}$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5^x \cdot 5^1 - 3^x \cdot 3^2 > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1}$

$5 \cdot 5^x - 9 \cdot 3^x > 2 \cdot 5^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$5 \cdot 5^x - 2 \cdot 5^x > 9 \cdot 3^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$

Приведем подобные слагаемые:

$3 \cdot 5^x > (9 - \frac{2}{3}) \cdot 3^x$

$3 \cdot 5^x > (\frac{27-2}{3}) \cdot 3^x$

$3 \cdot 5^x > \frac{25}{3} \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3 \cdot 3^x$ (выражение положительно):

$\frac{5^x}{3^x} > \frac{25}{3 \cdot 3}$

$(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9}$

$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^2$

Основание степени $\frac{5}{3}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $3^x + 10^{x-2} > 19 \cdot 3^{x-2} + 10^{x-3}$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^x + 10^x \cdot 10^{-2} > 19 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} + 10^x \cdot 10^{-3}$

$3^x + \frac{1}{100} \cdot 10^x > \frac{19}{9} \cdot 3^x + \frac{1}{1000} \cdot 10^x$

Сгруппируем слагаемые с $10^x$ в левой части, а с $3^x$ в правой:

$\frac{1}{100} \cdot 10^x - \frac{1}{1000} \cdot 10^x > \frac{19}{9} \cdot 3^x - 3^x$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{10}{1000} - \frac{1}{1000}) \cdot 10^x > (\frac{19}{9} - \frac{9}{9}) \cdot 3^x$

$\frac{9}{1000} \cdot 10^x > \frac{10}{9} \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3^x$ (положительно) и умножим на $\frac{1000}{9}$:

$\frac{10^x}{3^x} > \frac{10}{9} \cdot \frac{1000}{9}$

$(\frac{10}{3})^x > \frac{10000}{81}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{10}{3}$:

$(\frac{10}{3})^x > (\frac{10}{3})^4$

Основание степени $\frac{10}{3}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.