Страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.7. 1) $5^{2x + 1} - 5^{x + 2} < 5^x - 5$;

2) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$;

3) $250 \cdot 5^{3 - x} - 2 \cdot 5^{x - 3} > 0$;

4) $147 \cdot 7^{x - 2} - 3 \cdot 7^{2 - x} < 0$.

1) Решим неравенство $5^{2x+1} - 5^{x+2} < 5^x - 5$.

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть:

$5^{2x} \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 < 5^x - 5$

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x < 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 < 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 < 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$5t^2 - 26t + 5 < 0$

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

Графиком функции $y = 5t^2 - 26t + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение неравенства: $\frac{1}{5} < t < 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену $t = 5^x$:

$\frac{1}{5} < 5^x < 5$

Представим концы интервала в виде степеней с основанием 5:

$5^{-1} < 5^x < 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:

$-1 < x < 1$.

Ответ: $(-1; 1)$.

2) Решим неравенство $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$.

Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Неравенство можно переписать в виде:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 - 3t + 2 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Графиком функции $y=t^2 - 3t + 2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $1 < t < 2$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 < 2^x < 2$

Представим числа 1 и 2 в виде степеней с основанием 2:

$2^0 < 2^x < 2^1$

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$0 < x < 1$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) Решим неравенство $250 \cdot 5^{3-x} - 2 \cdot 5^{x-3} > 0$.

Перенесем второй член в правую часть:

$250 \cdot 5^{3-x} > 2 \cdot 5^{x-3}$

Используем свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$:

$250 \cdot \frac{5^3}{5^x} > 2 \cdot \frac{5^x}{5^3}$

$250 \cdot \frac{125}{5^x} > 2 \cdot \frac{5^x}{125}$

Умножим обе части неравенства на $125 \cdot 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$250 \cdot 125 \cdot 125 > 2 \cdot 5^x \cdot 5^x$

$250 \cdot 125^2 > 2 \cdot (5^x)^2$

Разделим обе части на 2:

$125 \cdot 125^2 > (5^x)^2$

$125^3 > (5^x)^2$

Представим 125 как $5^3$:

$(5^3)^3 > (5^x)^2$

$5^9 > 5^{2x}$

Так как основание $5 > 1$, можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$9 > 2x$

$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4.5$.

Ответ: $(-\infty; 4.5)$.

4) Решим неравенство $147 \cdot 7^{x-2} - 3 \cdot 7^{2-x} < 0$.

Перенесем второй член в правую часть:

$147 \cdot 7^{x-2} < 3 \cdot 7^{2-x}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$147 \cdot \frac{7^x}{7^2} < 3 \cdot \frac{7^2}{7^x}$

$147 \cdot \frac{7^x}{49} < 3 \cdot \frac{49}{7^x}$

Поскольку $147 / 49 = 3$, получаем:

$3 \cdot 7^x < 3 \cdot \frac{49}{7^x}$

Разделим обе части на 3:

$7^x < \frac{49}{7^x}$

Умножим обе части на $7^x$. Так как $7^x > 0$, знак неравенства не изменится:

$(7^x)^2 < 49$

Запишем 49 как $7^2$:

$7^{2x} < 7^2$

Так как основание $7 > 1$, можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$2x < 2$

$x < 1$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

25.8. Решите системы неравенств:

1) $$\begin{cases} \frac{x-5}{7^2} < 7\sqrt{7}, \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3} < \frac{3}{8}; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2+5x} > 1, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2-2x-2} < 27. \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x-5}{14} < 7\sqrt{7}, \\ (\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8} \end{cases} $$

Примечание: в первом неравенстве исходного изображения выражение в знаменателе левой части $\frac{x-5}{7\ \ 2}$ трактуется как произведение $7 \cdot 2 = 14$.

Решим первое неравенство:

$\frac{x-5}{14} < 7\sqrt{7}$

Умножим обе части неравенства на 14 (так как 14 > 0, знак неравенства не меняется):

$x-5 < 14 \cdot 7\sqrt{7}$

$x-5 < 98\sqrt{7}$

$x < 5 + 98\sqrt{7}$

Решим второе неравенство:

$(\frac{3}{2})^{2x-3} < 3\frac{3}{8}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в правой части в неправильную:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$:

$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{3}{2})^{2x-3} < (\frac{3}{2})^3$

Поскольку основание степени $\frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$2x-3 < 3$

$2x < 3 + 3$

$2x < 6$

$x < 3$

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств, то есть решить систему:

$$ \begin{cases} x < 5 + 98\sqrt{7} \\ x < 3 \end{cases} $$

Оценим значение $5 + 98\sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} > 0$, очевидно, что $98\sqrt{7} > 0$, и, следовательно, $5 + 98\sqrt{7} > 5$. Поскольку $5 > 3$, то $5 + 98\sqrt{7} > 3$. Таким образом, второе неравенство ($x < 3$) является более строгим. Пересечением двух интервалов $(-\infty; 5 + 98\sqrt{7})$ и $(-\infty; 3)$ будет интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $(-\infty; 3)$

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1, \\ (\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^{x^2+5x} > (\frac{3}{5})^0$

Поскольку основание степени $\frac{3}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+5x < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2+5x=0$:

$x(x+5) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

Графиком функции $y=x^2+5x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-5; 0)$.

Решим второе неравенство:

$(\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < 27$

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, $\frac{1}{3}$:

$27 = 3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{1}{3})^{x^2-2x-2} < (\frac{1}{3})^{-3}$

Поскольку основание степени $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x^2-2x-2 > -3$

$x^2-2x+1 > 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(x-1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, строго положителен. Выражение $(x-1)^2$ равно нулю при $x=1$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Решение второго неравенства: $x \neq 1$, что в виде интервалов записывается как $(-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-5; 0)$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Интервал $(-5; 0)$ полностью содержится в множестве $(-\infty; 1) \cup (1; \infty)$, так как число 1 не принадлежит интервалу $(-5; 0)$. Следовательно, пересечением является сам интервал $(-5; 0)$.

Ответ: $(-5; 0)$

25.9. Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству:

1) $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$;

2) $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{2x-3} < 0$;

3) $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$;

4) $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

1)Исходное неравенство: $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$.

Приведем все степени к основанию 3:

$(3^2)^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

$3^{2x+2} - 3^{x+3} - 3^x + 3 < 0$

$3^2 \cdot 3^{2x} - 3^3 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 3 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9t^2 - 28t + 3 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни: $t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{9} < t < 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{1}{9} < 3^x < 3$

$3^{-2} < 3^x < 3^1$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-2 < x < 1$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: $-1, 0$.

Наибольшее целое значение $x$ равно 0.

Ответ: 0.

2)Исходное неравенство: $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{2x-3} < 0$.

Преобразуем степени:

$13 \cdot 2^x \cdot 2^4 - 208 \cdot 2^{2x} \cdot 2^{-3} < 0$

$13 \cdot 16 \cdot 2^x - 208 \cdot \frac{1}{8} \cdot (2^x)^2 < 0$

$208 \cdot 2^x - 26 \cdot (2^x)^2 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$208t - 26t^2 < 0$.

Вынесем общий множитель $26t$:

$26t(8 - t) < 0$.

Поскольку $t = 2^x > 0$, то и $26t > 0$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$8 - t < 0$

$t > 8$.

Вернемся к переменной $x$:

$2^x > 8$

$2^x > 2^3$.

Так как основание $2 > 1$, то $x > 3$.

Множество целых решений: $\{4, 5, 6, ...\}$. Это множество не ограничено сверху, поэтому наибольшего целого значения $x$ не существует.

Ответ: Наибольшего целого значения не существует.

3)Исходное неравенство: $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$.

Заметим, что $3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{x-2}$, где $t > 0$.

$7t + \frac{20}{t} < \frac{41}{t}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$7t + \frac{20}{t} - \frac{41}{t} < 0$

$7t - \frac{21}{t} < 0$.

Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, знак неравенства не изменится:

$7t^2 - 21 < 0$

$7t^2 < 21$

$t^2 < 3$.

Поскольку $t > 0$, получаем $0 < t < \sqrt{3}$.

Вернемся к переменной $x$:

$3^{x-2} < \sqrt{3}$

$3^{x-2} < 3^{1/2}$.

Так как основание $3 > 1$, то $x-2 < \frac{1}{2}$.

$x < 2 + \frac{1}{2}$

$x < 2.5$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 2.

Ответ: 2.

4)Исходное неравенство: $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

Заметим, что $6^{-x} = \frac{1}{6^x}$.

$\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > \frac{8}{6^x}$.

Сделаем замену. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

$\frac{440}{t} - 2t > \frac{8}{t}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{440}{t} - \frac{8}{t} - 2t > 0$

$\frac{432}{t} - 2t > 0$.

Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$:

$432 - 2t^2 > 0$

$432 > 2t^2$

$216 > t^2$.

Поскольку $t > 0$, имеем $0 < t < \sqrt{216}$.

Вернемся к переменной $x$:

$6^x < \sqrt{216}$.

Так как $216 = 6^3$, то $\sqrt{216} = \sqrt{6^3} = (6^3)^{1/2} = 6^{3/2}$.

$6^x < 6^{3/2}$.

Поскольку основание $6 > 1$, то $x < \frac{3}{2}$.

$x < 1.5$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 1.

Ответ: 1.

Найдите наименьшие целые значения x, удовлетворяющие неравенствам (25.10–25.11):

25.10. 1) $7^{2x-1} - 7^{x+1} < 7^{x-1} - 7$;

2) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$;

3) $2^{2x+1} - 2^{x+3} < 2^{x+1} - 8$;

4) $5^{2x} - 5^{x+2} < 5^x - 25$.

1) Исходное неравенство: $7^{2x-1} - 7^{x+1} < 7^{x-1} - 7$.

Используя свойства степеней, преобразуем неравенство: $7^{2x} \cdot 7^{-1} - 7^x \cdot 7^1 < 7^x \cdot 7^{-1} - 7$, что равносильно $\frac{1}{7}(7^x)^2 - 7 \cdot 7^x < \frac{1}{7} \cdot 7^x - 7$.

Введем замену $y = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$. Неравенство принимает вид: $\frac{1}{7}y^2 - 7y < \frac{1}{7}y - 7$.

Перенесем все члены в левую часть: $\frac{1}{7}y^2 - 7y - \frac{1}{7}y + 7 < 0$.

Приведем подобные слагаемые: $\frac{1}{7}y^2 - \frac{50}{7}y + 7 < 0$.

Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дробей: $y^2 - 50y + 49 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $y^2 - 50y + 49 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 50, а их произведение равно 49. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 49$.

Парабола $f(y) = y^2 - 50y + 49$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(y) < 0$ выполняется между корнями: $1 < y < 49$.

Возвращаемся к замене $y = 7^x$: $1 < 7^x < 49$.

Представим границы интервала в виде степеней числа 7: $7^0 < 7^x < 7^2$.

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей: $0 < x < 2$.

Наименьшее целое число $x$, удовлетворяющее этому неравенству, это 1.

Ответ: 1

2) Исходное неравенство: $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$.

Преобразуем неравенство: $3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$, что равносильно $9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$.

Введем замену $y = 3^x$, где $y > 0$. Получаем: $9y^2 - 81y < y - 9$.

Перенесем все члены в левую часть: $9y^2 - 81y - y + 9 < 0$, что дает $9y^2 - 82y + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $9y^2 - 82y + 9 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{82 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $y_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$.

Решением неравенства $9y^2 - 82y + 9 < 0$ является интервал между корнями: $\frac{1}{9} < y < 9$.

Возвращаемся к замене $y = 3^x$: $\frac{1}{9} < 3^x < 9$.

Представим границы как степени числа 3: $3^{-2} < 3^x < 3^2$.

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $-2 < x < 2$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -1, 0, 1. Наименьшее из них -1.

Ответ: -1

3) Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 2^{x+3} < 2^{x+1} - 8$.

Преобразуем неравенство: $2^{2x} \cdot 2^1 - 2^x \cdot 2^3 < 2^x \cdot 2^1 - 8$, что равносильно $2 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x < 2 \cdot 2^x - 8$.

Введем замену $y = 2^x$, где $y > 0$: $2y^2 - 8y < 2y - 8$.

Перенесем все члены влево: $2y^2 - 10y + 8 < 0$.

Разделим обе части на 2: $y^2 - 5y + 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

Решением неравенства является интервал между корнями: $1 < y < 4$.

Возвращаемся к замене $y = 2^x$: $1 < 2^x < 4$.

Представим границы как степени числа 2: $2^0 < 2^x < 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $0 < x < 2$.

Наименьшее целое число $x$ из этого интервала - это 1.

Ответ: 1

4) Исходное неравенство: $5^{2x} - 5^{x+2} < 5^x - 25$.

Преобразуем неравенство: $(5^x)^2 - 5^x \cdot 5^2 < 5^x - 25$, что равносильно $(5^x)^2 - 25 \cdot 5^x < 5^x - 25$.

Введем замену $y = 5^x$, где $y > 0$: $y^2 - 25y < y - 25$.

Перенесем все члены влево: $y^2 - 26y + 25 < 0$.

Найдем корни уравнения $y^2 - 26y + 25 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 1$, $y_2 = 25$.

Решением неравенства является интервал между корнями: $1 < y < 25$.

Возвращаемся к замене $y = 5^x$: $1 < 5^x < 25$.

Представим границы как степени числа 5: $5^0 < 5^x < 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $0 < x < 2$.

Наименьшее целое число $x$ из этого интервала - это 1.

Ответ: 1

25.11. 1) $2^{x+3} + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^{x+2} + 5^{x+1}$

2) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 9^x$

3) $5^{x+1} - 3^{x+2} > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^{x-1}$

4) $3^x + 10^{x-2} > 19 \cdot 3^{x-2} + 10^{x-3}$

1) $2^{x+3} + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^{x+1}$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать неравенство:

$2^x \cdot 2^3 + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5^x \cdot 5^1$

$8 \cdot 2^x + 3 \cdot 5^x < 3 \cdot 2^x + 5 \cdot 5^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем члены с $2^x$ в левую часть, а с $5^x$ в правую:

$8 \cdot 2^x - 3 \cdot 2^x < 5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x$

Приведем подобные слагаемые:

$5 \cdot 2^x < 2 \cdot 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5 \cdot 5^x$. Так как это выражение всегда положительно, знак неравенства не изменится:

$\frac{2^x}{5^x} < \frac{2}{5}$

$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^1$

Основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^{2x} \cdot 2^1 - 3^{2x} \cdot 3^1 < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^{2x} < 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x}$

Приведем подобные слагаемые:

$9 \cdot 2^{2x} < 4 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части неравенства на $9 \cdot 3^{2x}$ (выражение положительно):

$\frac{2^{2x}}{3^{2x}} < \frac{4}{9}$

$(\frac{2}{3})^{2x} < (\frac{2}{3})^2$

Основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x > 2$

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $5^{x+1} - 3^{x+2} > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^{x-1}$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5^x \cdot 5^1 - 3^x \cdot 3^2 > 2 \cdot 5^x - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1}$

$5 \cdot 5^x - 9 \cdot 3^x > 2 \cdot 5^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$5 \cdot 5^x - 2 \cdot 5^x > 9 \cdot 3^x - \frac{2}{3} \cdot 3^x$

Приведем подобные слагаемые:

$3 \cdot 5^x > (9 - \frac{2}{3}) \cdot 3^x$

$3 \cdot 5^x > (\frac{27-2}{3}) \cdot 3^x$

$3 \cdot 5^x > \frac{25}{3} \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3 \cdot 3^x$ (выражение положительно):

$\frac{5^x}{3^x} > \frac{25}{3 \cdot 3}$

$(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9}$

$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^2$

Основание степени $\frac{5}{3}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $3^x + 10^{x-2} > 19 \cdot 3^{x-2} + 10^{x-3}$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^x + 10^x \cdot 10^{-2} > 19 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} + 10^x \cdot 10^{-3}$

$3^x + \frac{1}{100} \cdot 10^x > \frac{19}{9} \cdot 3^x + \frac{1}{1000} \cdot 10^x$

Сгруппируем слагаемые с $10^x$ в левой части, а с $3^x$ в правой:

$\frac{1}{100} \cdot 10^x - \frac{1}{1000} \cdot 10^x > \frac{19}{9} \cdot 3^x - 3^x$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{10}{1000} - \frac{1}{1000}) \cdot 10^x > (\frac{19}{9} - \frac{9}{9}) \cdot 3^x$

$\frac{9}{1000} \cdot 10^x > \frac{10}{9} \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3^x$ (положительно) и умножим на $\frac{1000}{9}$:

$\frac{10^x}{3^x} > \frac{10}{9} \cdot \frac{1000}{9}$

$(\frac{10}{3})^x > \frac{10000}{81}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{10}{3}$:

$(\frac{10}{3})^x > (\frac{10}{3})^4$

Основание степени $\frac{10}{3}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. При сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

Решите неравенства (25.12–25.13):

25.12. 1) $2^{\sqrt{x+1}-1} < 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}$;

2) $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}-5} > 3^{1-\sqrt{x+1}}$;

3) $5^{\sqrt{x-2}} > 5^{1-\sqrt{x-2}} + 4$;

4) $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} > 7^{1-\sqrt{2x-3}} + 13$.

1) Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}$ определяется условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Преобразуем неравенство: $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < 3 \cdot 2^2 \cdot 2^{-\sqrt{x+1}}$, что равносильно $2^{\sqrt{x+1}} - 1 < \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}}$. Сделаем замену $t = 2^{\sqrt{x+1}}$. Поскольку $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $t \ge 2^0 = 1$. Неравенство принимает вид $t - 1 < \frac{12}{t}$. Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$: $t^2 - t < 12$, или $t^2 - t - 12 < 0$. Корни квадратного уравнения $t^2 - t - 12 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 4$. Решением неравенства является интервал $-3 < t < 4$. Учитывая условие $t \ge 1$, получаем $1 \le t < 4$. Вернемся к исходной переменной: $1 \le 2^{\sqrt{x+1}} < 4$, или $2^0 \le 2^{\sqrt{x+1}} < 2^2$. Так как основание $2 > 1$, переходим к показателям: $0 \le \sqrt{x+1} < 2$. Возводя в квадрат, получаем $0 \le x+1 < 4$, что дает $-1 \le x < 3$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[-1; 3)$.

2) ОДЗ неравенства $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > 3^{1-\sqrt{x+1}}$ определяется условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Преобразуем правую часть: $2 \cdot 3^{\sqrt{x+1}} - 5 > \frac{3}{3^{\sqrt{x+1}}}$. Сделаем замену $t = 3^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $t \ge 3^0 = 1$. Неравенство для переменной $t$ имеет вид $2t - 5 > \frac{3}{t}$. Умножим обе части на $t > 0$, получим $2t^2 - 5t > 3$, или $2t^2 - 5t - 3 > 0$. Корни квадратного уравнения $2t^2 - 5t - 3 = 0$ равны $t_1 = 3$ и $t_2 = -1/2$. Решением неравенства является объединение интервалов $t < -1/2$ и $t > 3$. Учитывая условие $t \ge 1$, получаем $t > 3$. Выполним обратную замену: $3^{\sqrt{x+1}} > 3^1$. Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $\sqrt{x+1} > 1$. Возводим обе неотрицательные части в квадрат: $x+1 > 1$, откуда $x > 0$. Данное решение входит в ОДЗ.

Ответ: $(0; +\infty)$.

3) ОДЗ неравенства $5^{\sqrt{x-2}} > 5^{1-\sqrt{x-2}} + 4$ определяется условием $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Преобразуем неравенство: $5^{\sqrt{x-2}} > \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} + 4$. Пусть $t = 5^{\sqrt{x-2}}$. Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $t \ge 5^0 = 1$. Подставляем $t$ в неравенство: $t > \frac{5}{t} + 4$. Так как $t > 0$, умножим на $t$: $t^2 > 5 + 4t$, что равносильно $t^2 - 4t - 5 > 0$. Корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$ равны $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$. Решением неравенства является $t < -1$ или $t > 5$. Учитывая ограничение $t \ge 1$, получаем $t > 5$. Делаем обратную замену: $5^{\sqrt{x-2}} > 5^1$. Так как основание $5 > 1$, то $\sqrt{x-2} > 1$. Возводим обе части в квадрат: $x-2 > 1$, откуда $x > 3$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(3; +\infty)$.

4) ОДЗ неравенства $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} > 7^{1-\sqrt{2x-3}} + 13$ определяется условием $2x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 1.5$. Преобразуем неравенство: $2 \cdot 7^{\sqrt{2x-3}} > \frac{7}{7^{\sqrt{2x-3}}} + 13$. Введем замену $t = 7^{\sqrt{2x-3}}$. Так как $\sqrt{2x-3} \ge 0$, то $t \ge 7^0 = 1$. Неравенство принимает вид $2t > \frac{7}{t} + 13$. Умножим на $t > 0$: $2t^2 > 7 + 13t$, или $2t^2 - 13t - 7 > 0$. Корни квадратного уравнения $2t^2 - 13t - 7 = 0$ равны $t_1 = 7$ и $t_2 = -1/2$. Решением неравенства является $t < -1/2$ или $t > 7$. С учетом ограничения $t \ge 1$, получаем $t > 7$. Возвращаемся к переменной $x$: $7^{\sqrt{2x-3}} > 7^1$. Так как основание $7 > 1$, то $\sqrt{2x-3} > 1$. Возводим в квадрат: $2x-3 > 1$, откуда $2x > 4$ и $x > 2$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2; +\infty)$.

25.13. 1) $(x-3)^{x^2-9} > 1;$

2) $(x-2)^{x^2-1} > 1;$

3) $(x-1)^{\frac{2x-7}{x+1}} > 1;$

4) $(x+\frac{1}{2})^{x^2-\frac{1}{4}} > 1.$

1) $(x-3)^{x^2-9} > 1$

Это показательно-степенное неравенство. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.

Неравенство вида $f(x)^{g(x)} > 1$ равносильно совокупности двух систем:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x-3 > 1 \\ x^2-9 > 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > 4$.

Второе неравенство $(x-3)(x+3) > 0$ имеет решение $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Пересекая решения $x > 4$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$, получаем $x \in (4, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x-3 < 1 \\ x^2-9 < 0\end{cases}$

Из первого двойного неравенства получаем $3 < x < 4$.

Второе неравенство $(x-3)(x+3) < 0$ имеет решение $x \in (-3, 3)$.

Пересечение множеств $(3, 4)$ и $(-3, 3)$ является пустым множеством.

Объединяя решения двух систем, получаем окончательный результат.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

2) $(x-2)^{x^2-1} > 1$

ОДЗ: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x-2 > 1 \\ x^2-1 > 0\end{cases}$

Из $x-2 > 1$ следует $x > 3$.

Из $x^2-1 > 0$, или $(x-1)(x+1) > 0$, следует $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение решений $x > 3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ дает $x \in (3, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x-2 < 1 \\ x^2-1 < 0\end{cases}$

Из $0 < x-2 < 1$ следует $2 < x < 3$.

Из $x^2-1 < 0$ следует $x \in (-1, 1)$.

Пересечение множеств $(2, 3)$ и $(-1, 1)$ пусто.

Итоговое решение является объединением решений из двух случаев.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

3) $(x-1)^{\frac{2x-7}{x+1}} > 1$

ОДЗ: основание $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Также знаменатель показателя $x+1 \neq 0$, что выполняется при $x > 1$.

Решаем совокупность двух систем:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x-1 > 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} > 0\end{cases}$

Из $x-1 > 1$ получаем $x > 2$.

Неравенство $\frac{2x-7}{x+1} > 0$ решаем методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=3.5$ и $x=-1$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (3.5, \infty)$.

Пересечение решений $x > 2$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (3.5, \infty)$ дает $x \in (3.5, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x-1 < 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} < 0\end{cases}$

Из $0 < x-1 < 1$ получаем $1 < x < 2$.

Неравенство $\frac{2x-7}{x+1} < 0$ имеет решение $x \in (-1, 3.5)$.

Пересечение решений $1 < x < 2$ и $x \in (-1, 3.5)$ дает $x \in (1, 2)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (3.5, \infty)$.

4) $(x+\frac{1}{2})^{x^2-\frac{1}{4}} > 1$

ОДЗ: $x+\frac{1}{2} > 0 \Rightarrow x > -0.5$.

Рассматриваем два случая:

1. Основание больше 1, показатель больше 0:

$\begin{cases} x+\frac{1}{2} > 1 \\ x^2-\frac{1}{4} > 0\end{cases}$

Из $x+\frac{1}{2} > 1$ получаем $x > 0.5$.

Из $x^2-\frac{1}{4} > 0$, или $(x-0.5)(x+0.5) > 0$, получаем $x \in (-\infty, -0.5) \cup (0.5, \infty)$.

Пересечение этих решений дает $x \in (0.5, \infty)$.

2. Основание от 0 до 1, показатель меньше 0:

$\begin{cases} 0 < x+\frac{1}{2} < 1 \\ x^2-\frac{1}{4} < 0\end{cases}$

Из $0 < x+\frac{1}{2} < 1$ получаем $-0.5 < x < 0.5$.

Из $x^2-\frac{1}{4} < 0$ получаем $x \in (-0.5, 0.5)$.

Пересечение этих решений дает $x \in (-0.5, 0.5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-0.5, 0.5) \cup (0.5, \infty)$.

25.14. Решите системы неравенств:

1) $\begin{cases} 2^{x+2} - 0.75 \cdot 2^{x+2} > 1, \\ 0.2^x < 0.04^{x^2} \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - 2)^{2x^2 - 11x + 9} < 1, \\ (0.3)^{\sqrt{4x^2 - 8x + 2}} > (0.3)^{\sqrt{x}} \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2^{x+2} - 0,75 \cdot 2^{x+2} > 1 \\ 0,2^x < 0,04^{x^2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2^{x+2} - 0,75 \cdot 2^{x+2} > 1$

Вынесем общий множитель $2^{x+2}$ за скобки:

$2^{x+2}(1 - 0,75) > 1$

$2^{x+2} \cdot 0,25 > 1$

Представим $0,25$ как степень двойки: $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.

$2^{x+2} \cdot 2^{-2} > 1$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{x+2-2} > 2^0$

$2^x > 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$x > 0$

Решение первого неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$0,2^x < 0,04^{x^2}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $0,2$. Учтем, что $0,04 = (0,2)^2$.

$0,2^x < (0,2^2)^{x^2}$

$0,2^x < 0,2^{2x^2}$

Так как основание степени $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) < 0$

Корнями уравнения $x(2x-1)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{2}=0,5$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (0; 0,5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (0; 0,5)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(0; 0,5)$.

Ответ: $(0; 0,5)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x-2)^{2x^2-11x+9} < 1 \\ (0,3)^{\sqrt{4x^2-8x+2}} > (0,3)^{\sqrt{x}} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x-2)^{2x^2-11x+9} < 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что основание степени должно быть положительным: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Представим 1 как $(x-2)^0$ и рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание степени больше 1.

$x - 2 > 1 \implies x > 3$.

В этом случае показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2 - 11x + 9 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 9 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.

$x_1 = \frac{11-\sqrt{49}}{4} = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11+\sqrt{49}}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$.

Решением неравенства $2x^2 - 11x + 9 < 0$ является интервал $(1; 4,5)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 3$: $(1; 4,5) \cap (3; +\infty) = (3; 4,5)$.

Случай 2: Основание степени находится в интервале от 0 до 1.

$0 < x - 2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

В этом случае показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$2x^2 - 11x + 9 > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (4,5; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $2 < x < 3$: $((-\infty; 1) \cup (4,5; +\infty)) \cap (2; 3) = \emptyset$.

Объединив решения из двух случаев, получаем решение первого неравенства: $x \in (3; 4,5)$.

2. Решим второе неравенство: $(0,3)^{\sqrt{4x^2-8x+2}} > (0,3)^{\sqrt{x}}$.

Найдем ОДЗ. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} 4x^2 - 8x + 2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы ОДЗ: $2x^2 - 4x + 1 \ge 0$.

Корни уравнения $2x^2 - 4x + 1 = 0$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = 1 \pm \frac{2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

С учетом условия $x \ge 0$, ОДЗ для второго неравенства: $x \in [0; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Основание $0,3 < 1$, поэтому функция убывающая, и мы меняем знак неравенства для показателей:

$\sqrt{4x^2 - 8x + 2} < \sqrt{x}$

Так как обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:

$4x^2 - 8x + 2 < x$

$4x^2 - 9x + 2 < 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x + 2 = 0$. $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

$x_1 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Решение этого неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; 2)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(\frac{1}{4}; 2) \cap \left( \left[0; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty\right) \right)$.

Так как $\frac{1}{4}=0,25$, $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,293$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1,707$, пересечением является:

$\left(\frac{1}{4}; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$.

3. Найдем общее решение системы, пересекая решения обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (3; 4,5)$.

Решение второго неравенства: $x \in \left(\frac{1}{4}; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$.

Множество решений первого неравенства $(3; 4,5)$ и множество решений второго неравенства не имеют общих точек, так как максимальное значение во втором множестве меньше 2, а минимальное значение в первом больше 3.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

25.15. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-2} > x-2;$

2) $\sqrt{2x+1} > x-2;$

3) $\sqrt{6x+16} > x;$

4) $\sqrt{4-x} < 2-x.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x-2} > x-2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x-2$. Неравенство примет вид $\sqrt{t} > t$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$ определяется условием $t \ge 0$.

Поскольку обе части неравенства $\sqrt{t} > t$ неотрицательны при $t \ge 0$, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{t})^2 > t^2$

$t > t^2$

$t - t^2 > 0$

$t(1-t) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(1-t)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=1$. Так как коэффициент при $t^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и неравенство выполняется между корнями.

Таким образом, решение для $t$ есть $0 < t < 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x-2$:

$0 < x-2 < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x-2 < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (2, 3)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{2x+1} > x-2$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Первая система рассматривает случай, когда правая часть отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения корня, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x < 2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-1/2, 2)$.

Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 2x+1 > (x-2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 2x+1 > x^2-4x+4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 6x + 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 3 = 0$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2 - 6x + 3 < 0$ есть $x \in (3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 2$. Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $3-\sqrt{6} \approx 3-2.45 = 0.55$. Следовательно, $3-\sqrt{6} < 2$.

Пересечением интервалов $(3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})$ и $[2, \infty)$ является промежуток $[2, 3+\sqrt{6})$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух систем:

$[-1/2, 2) \cup [2, 3+\sqrt{6}) = [-1/2, 3+\sqrt{6})$.

Ответ: $x \in [-1/2, 3+\sqrt{6})$.

3) Решим неравенство $\sqrt{6x+16} > x$.

Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} > g(x)$ и решается аналогично предыдущему пункту, рассматривая два случая.

Первый случай: правая часть отрицательна ($x < 0$).

$\begin{cases} 6x+16 \ge 0 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \ge -16 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8/3 \\ x < 0 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-8/3, 0)$.

Второй случай: правая часть неотрицательна ($x \ge 0$).

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 6x+16 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2-6x-16 < 0 \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2-6x-16 < 0$. Корни уравнения $x^2-6x-16=0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2=8$.

Ветви параболы направлены вверх, значит решение неравенства $x \in (-2, 8)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 0$: $x \in [0, 8)$.

Объединим решения обоих случаев:

$[-8/3, 0) \cup [0, 8) = [-8/3, 8)$.

Ответ: $x \in [-8/3, 8)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{4-x} < 2-x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех условий:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.

2. Правая часть должна быть строго положительной (так как она больше корня, который неотрицателен): $g(x) > 0$.

3. Можно возвести в квадрат обе части: $f(x) < (g(x))^2$.

Запишем систему для нашего неравенства:

$\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ 2-x > 0 \\ 4-x < (2-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $4-x \ge 0 \implies x \le 4$.

2. $2-x > 0 \implies x < 2$.

3. $4-x < 4 - 4x + x^2 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0$.

Решением неравенства $x(x-3) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условия $x \le 4$ и $x < 2$ вместе дают $x < 2$.

Осталось найти пересечение $x < 2$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Пересечением множеств $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ является интервал $(-\infty, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.