Страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3. При каких значениях $x$ функция $y = \log_6(x^2 + 6x) - 3$ принимает отрицательные значения:

A) $(-6; 0);

B) $(-\infty; -18) \cup (12; +\infty);

C) $(-18; 12);

D) $(-18; -6) \cup (0; 12)?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = \log_{6}(x^2 + 6x) - 3$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Запишем и решим это неравенство:

$\log_{6}(x^2 + 6x) - 3 < 0$

Перенесем константу в правую часть:

$\log_{6}(x^2 + 6x) < 3$

Решение данного неравенства требует учета области допустимых значений (ОДЗ).

1. Найдем ОДЗ.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + 6x > 0$

$x(x + 6) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x+6)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется за пределами корней.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

2. Решим логарифмическое неравенство.

$\log_{6}(x^2 + 6x) < 3$

Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $6$:

$3 = 3 \cdot \log_{6}(6) = \log_{6}(6^3) = \log_{6}(216)$

Теперь неравенство имеет вид:

$\log_{6}(x^2 + 6x) < \log_{6}(216)$

Поскольку основание логарифма $6 > 1$, функция $y=\log_{6}(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 6x < 216$

$x^2 + 6x - 216 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.

$x^2 + 6x - 216 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 216 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

$\sqrt{D} = 30$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Так как ветви параболы $y = x^2 + 6x - 216$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 6x - 216 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-18; 12)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.

Для получения окончательного ответа необходимо найти общие для обоих условий значения $x$:

1) $x \in (-18; 12)$

2) $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$

Пересечение этих двух множеств дает нам интервалы $(-18; -6)$ и $(0; 12)$.

Таким образом, итоговое решение: $x \in (-18; -6) \cup (0; 12)$.

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $(-18; -6) \cup (0; 12)$?

4. Решите системы уравнений $\begin{cases} 3^y = 27^x, \\ \log_2(y - x^2) = 1: \end{cases}$

A) $(-1; -3), (-2; -6);

B) $(1; 3);

C) $(2; 6);

D) $(1; 3), (2; 6).

Для решения данной системы уравнений$ \begin{cases} 3^y = 27^x, \\ \log_2(y - x^2) = 1 \end{cases} $мы будем преобразовывать каждое уравнение по отдельности.

Начнем с первого уравнения: $3^y = 27^x$.

Представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Тогда уравнение примет вид: $3^y = (3^3)^x$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^y = 3^{3x}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$y = 3x$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $\log_2(y - x^2) = 1$.

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:

$y - x^2 = 2^1$

$y - x^2 = 2$.

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, то есть $y - x^2 > 0$. Наши преобразования уже привели к $y - x^2 = 2$, что автоматически удовлетворяет этому условию, так как $2 > 0$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x \\ y - x^2 = 2 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(3x) - x^2 = 2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 3x - 2 = 0$.

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда легко найти корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение $y = 3x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

Первое решение системы — пара $(1, 3)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 3 \cdot 2 = 6$.

Второе решение системы — пара $(2, 6)$.

Итак, мы получили два решения: $(1, 3)$ и $(2, 6)$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что наш результат совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $(1; 3), (2; 6)$.

5. Решите системы неравенств $ \begin{cases} x^2 + x - 6 > 0, \\ \log_{1/4}^2 x - \log_{1/4} x - 6 < 0 : \end{cases} $

A) $(2; 64);$

B) $[2; 64];$

C) $(-\infty; -3] \cup (64; +\infty);$

D) $(\frac{1}{16}; 2].$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Исходная система, представленная на изображении:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \\ \log_{1/4}^2 x - \log_{1/4} x - 6 < 0 \end{cases} $

Примечание: Решение системы в том виде, как она представлена на изображении, приводит к ответу $(2; 16)$, который отсутствует среди предложенных вариантов. Вероятнее всего, в условии второго неравенства допущена опечатка, и основание логарифма должно быть 4, а не $1/4$. Далее приводится решение для исправленной системы, которое соответствует варианту ответа А.

Исправленная система для решения:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \\ \log_4^2 x - \log_4 x - 6 < 0 \end{cases} $

1. Решение первого неравенства: $x^2 + x - 6 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x - 2)(x + 3) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решением первого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

2. Решение второго неравенства (с исправленным основанием): $\log_4^2 x - \log_4 x - 6 < 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2 - t - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -2$ и $t_2 = 3$.

Неравенство можно записать как $(t+2)(t-3) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал $-2 < t < 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив обратно $t = \log_4 x$:

$-2 < \log_4 x < 3$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при потенцировании знаки неравенства сохраняются:

$4^{-2} < x < 4^3$

$\frac{1}{16} < x < 64$

Решением второго неравенства является интервал $x \in (\frac{1}{16}; 64)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

3. Нахождение решения системы

Теперь нам нужно найти пересечение множеств решений обоих неравенств:

$x \in ((-\infty; -3) \cup (2; +\infty)) \cap (\frac{1}{16}; 64)$

Пересекая эти два множества, мы видим, что интервал $(-\infty; -3)$ не имеет общих точек с интервалом $(\frac{1}{16}; 64)$.

Пересечение интервалов $(2; +\infty)$ и $(\frac{1}{16}; 64)$ дает нам интервал $(2; 64)$.

Таким образом, решением системы является $x \in (2; 64)$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: (2; 64)

6. Сколько натуральных чисел являются решением неравенства $\frac{1}{125} < 5^{x+5} < 3125$:

A) 7;

B) 9;

C) 8;

D) 6?

Для решения данного показательного неравенства необходимо привести все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5.

Исходное неравенство: $ \frac{1}{125} < 5^{x+5} < 3125 $

Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 5.

Левая часть: $ \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3} $.

Правая часть: $ 3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 $.

Теперь неравенство можно записать в следующем виде: $ 5^{-3} < 5^{x+5} < 5^5 $

Так как основание степени $ 5 > 1 $, то при переходе к неравенству для показателей степеней знаки неравенства сохраняются: $ -3 < x+5 < 5 $

Чтобы найти x, вычтем 5 из всех частей двойного неравенства: $ -3 - 5 < x + 5 - 5 < 5 - 5 $ $ -8 < x < 0 $

В задаче требуется найти количество натуральных чисел, которые являются решением. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). В полученном интервале $ (-8, 0) $ нет ни одного натурального числа.

Однако, если рассмотреть целые числа, входящие в этот интервал, то это будут: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1.

Количество таких целых чисел равно 7. Поскольку этот вариант (А) есть среди предложенных ответов, можно сделать вывод, что в условии задачи имелись в виду целые, а не натуральные числа.

Ответ: 7

7. Сколько целых чисел содержит решение неравенства $lg(x^2 - 15x) < 2$:

A) 10;B) 12;C) 8;D) 26?

Для решения неравенства $\lg(x^2 - 15x) < 2$ необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство с учетом этой области.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:

$x^2 - 15x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 15) > 0$

Решением этого квадратного неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (15, +\infty)$.

2. Решение неравенства

Исходное неравенство:

$\lg(x^2 - 15x) < 2$

Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $2 = \lg(10^2) = \lg(100)$.

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^2 - 15x) < \lg(100)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 15x < 100$

$x^2 - 15x - 100 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 15x - 100 = 0$. Используем дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{15 - 25}{2} = -5$

$x_2 = \frac{15 + 25}{2} = 20$

Решением неравенства $x^2 - 15x - 100 < 0$ является интервал между корнями: $x \in (-5, 20)$.

3. Нахождение итогового решения

Решение исходного неравенства — это пересечение ОДЗ и решения, полученного на втором шаге:

$x \in ((-\infty, 0) \cup (15, +\infty)) \cap (-5, 20)$

Пересечением этих множеств является объединение интервалов:

$x \in (-5, 0) \cup (15, 20)$

4. Подсчет целых чисел

Найдем целые числа, которые принадлежат полученным интервалам:

Для интервала $(-5, 0)$ это числа: -4, -3, -2, -1 (всего 4 числа).

Для интервала $(15, 20)$ это числа: 16, 17, 18, 19 (всего 4 числа).

Общее количество целых решений: $4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.

8. На диаграмме указаны средние цены (в тенге) на некоторые основные продукты питания (по данным на конец 2018 г.) в трех городах Казахстана:

Найдите стоимость следующего набора продуктов: 2 кг сахара, 1 л молока, 3 десятка яиц и 2 кг макаронных изделий в г. Алматы:

A) 2297тг;

B) 2023 тг;

C) 2103 тг;

D) 2263 тг;

E) 2193 тг.

Чтобы найти стоимость указанного набора продуктов, необходимо сначала определить цены на каждый товар в г. Алматы по данным из диаграммы, а затем вычислить общую сумму.

1. Находим цены на продукты в г. Алматы:

- Сахар (1 кг): 253 тг

- Молоко (1 литр): 250 тг

- Яйцо (десяток): 295 тг

- Макаронные изделия (1 кг): 231 тг

2. Рассчитываем стоимость необходимого количества каждого продукта:

- Стоимость 2 кг сахара: $2 \times 253 = 506 \text{ тг}$

- Стоимость 1 л молока: $1 \times 250 = 250 \text{ тг}$

- Стоимость 3 десятков яиц: $3 \times 295 = 885 \text{ тг}$

- Стоимость 2 кг макаронных изделий: $2 \times 231 = 462 \text{ тг}$

3. Складываем стоимость всех продуктов для получения итоговой суммы:

Общая стоимость = $506 + 250 + 885 + 462 = 2103 \text{ тг}$

Итоговая стоимость набора продуктов в г. Алматы составляет 2103 тг. Этот результат соответствует варианту C).

Ответ: 2103 тг.