Номер 3, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3. При каких значениях $x$ функция $y = \log_6(x^2 + 6x) - 3$ принимает отрицательные значения:

A) $(-6; 0);

B) $(-\infty; -18) \cup (12; +\infty);

C) $(-18; 12);

D) $(-18; -6) \cup (0; 12)?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = \log_{6}(x^2 + 6x) - 3$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Запишем и решим это неравенство:

$\log_{6}(x^2 + 6x) - 3 < 0$

Перенесем константу в правую часть:

$\log_{6}(x^2 + 6x) < 3$

Решение данного неравенства требует учета области допустимых значений (ОДЗ).

1. Найдем ОДЗ.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + 6x > 0$

$x(x + 6) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x+6)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется за пределами корней.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$.

2. Решим логарифмическое неравенство.

$\log_{6}(x^2 + 6x) < 3$

Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $6$:

$3 = 3 \cdot \log_{6}(6) = \log_{6}(6^3) = \log_{6}(216)$

Теперь неравенство имеет вид:

$\log_{6}(x^2 + 6x) < \log_{6}(216)$

Поскольку основание логарифма $6 > 1$, функция $y=\log_{6}(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 6x < 216$

$x^2 + 6x - 216 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство.

$x^2 + 6x - 216 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 216 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

$\sqrt{D} = 30$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Так как ветви параболы $y = x^2 + 6x - 216$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 6x - 216 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-18; 12)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ.

Для получения окончательного ответа необходимо найти общие для обоих условий значения $x$:

1) $x \in (-18; 12)$

2) $x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$

Пересечение этих двух множеств дает нам интервалы $(-18; -6)$ и $(0; 12)$.

Таким образом, итоговое решение: $x \in (-18; -6) \cup (0; 12)$.

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $(-18; -6) \cup (0; 12)$?