Номер 26.20, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.20. Найдите вторую производную функции:

1) $f(x) = x^2 \cdot e^{2x}$;

2) $f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{-x}$;

3) $f(x) = x \cdot \ln x$;

4) $f(x) = x^2 \cdot \ln x$.

1) Чтобы найти вторую производную функции $f(x) = x^2 \cdot e^{2x}$, необходимо последовательно найти первую и вторую производные.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{2x}$. Тогда их производные: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x})' = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x}$.

Вынесем общий множитель $2e^{2x}$:

$f'(x) = 2e^{2x}(x + x^2)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$. Снова применим правило произведения для функций $u_1(x) = x + x^2$ и $v_1(x) = 2e^{2x}$.

$u_1'(x) = 1 + 2x$ и $v_1'(x) = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}$.

$f''(x) = (u_1(x) \cdot v_1(x))' = u_1'(x)v_1(x) + u_1(x)v_1'(x) = (1 + 2x) \cdot 2e^{2x} + (x + x^2) \cdot 4e^{2x}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f''(x) = (2 + 4x)e^{2x} + (4x + 4x^2)e^{2x} = (2 + 4x + 4x + 4x^2)e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2)e^{2x}$.

Можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$f''(x) = 2(2x^2 + 4x + 1)e^{2x}$.

Ответ: $2(2x^2 + 4x + 1)e^{2x}$.

2) Найдем вторую производную функции $f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{-x}$.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$ по правилу произведения.

Пусть $u(x) = x^2 - x$ и $v(x) = e^{-x}$. Тогда $u'(x) = 2x - 1$ и $v'(x) = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.

$f'(x) = (2x - 1)e^{-x} + (x^2 - x)(-e^{-x}) = (2x - 1 - (x^2 - x))e^{-x} = (2x - 1 - x^2 + x)e^{-x} = (-x^2 + 3x - 1)e^{-x}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

Пусть $u_1(x) = -x^2 + 3x - 1$ и $v_1(x) = e^{-x}$. Тогда $u_1'(x) = -2x + 3$ и $v_1'(x) = -e^{-x}$.

$f''(x) = (-2x + 3)e^{-x} + (-x^2 + 3x - 1)(-e^{-x}) = (-2x + 3 - (-x^2 + 3x - 1))e^{-x}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f''(x) = (-2x + 3 + x^2 - 3x + 1)e^{-x} = (x^2 - 5x + 4)e^{-x}$.

Ответ: $(x^2 - 5x + 4)e^{-x}$.

3) Найдем вторую производную функции $f(x) = x \cdot \ln{x}$. Функция определена при $x > 0$.

Найдем первую производную $f'(x)$ по правилу произведения.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln{x}$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.

$f'(x) = 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = (\ln{x} + 1)' = (\ln{x})' + (1)' = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}$.

Ответ: $\frac{1}{x}$.

4) Найдем вторую производную функции $f(x) = x^2 \cdot \ln{x}$. Функция определена при $x > 0$.

Найдем первую производную $f'(x)$ по правилу произведения.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln{x}$. Тогда $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.

$f'(x) = 2x \cdot \ln{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln{x} + x$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = (2x\ln{x} + x)' = (2x\ln{x})' + (x)'$.

Для нахождения производной от $2x\ln{x}$ снова применим правило произведения:

$(2x)'\ln{x} + 2x(\ln{x})' = 2 \cdot \ln{x} + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2\ln{x} + 2$.

Производная от $x$ равна 1.

Складываем полученные результаты:

$f''(x) = (2\ln{x} + 2) + 1 = 2\ln{x} + 3$.

Ответ: $2\ln{x} + 3$.