Номер 4, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. Решите системы уравнений $\begin{cases} 3^y = 27^x, \\ \log_2(y - x^2) = 1: \end{cases}$

A) $(-1; -3), (-2; -6);

B) $(1; 3);

C) $(2; 6);

D) $(1; 3), (2; 6).

Для решения данной системы уравнений$ \begin{cases} 3^y = 27^x, \\ \log_2(y - x^2) = 1 \end{cases} $мы будем преобразовывать каждое уравнение по отдельности.

Начнем с первого уравнения: $3^y = 27^x$.

Представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Тогда уравнение примет вид: $3^y = (3^3)^x$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^y = 3^{3x}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$y = 3x$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $\log_2(y - x^2) = 1$.

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:

$y - x^2 = 2^1$

$y - x^2 = 2$.

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, то есть $y - x^2 > 0$. Наши преобразования уже привели к $y - x^2 = 2$, что автоматически удовлетворяет этому условию, так как $2 > 0$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x \\ y - x^2 = 2 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(3x) - x^2 = 2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 3x - 2 = 0$.

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда легко найти корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя уравнение $y = 3x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

Первое решение системы — пара $(1, 3)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 3 \cdot 2 = 6$.

Второе решение системы — пара $(2, 6)$.

Итак, мы получили два решения: $(1, 3)$ и $(2, 6)$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что наш результат совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $(1; 3), (2; 6)$.