Номер 2, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

$0,25^{2+0,5x^2} > 32^x$

A) -1;

B) -2;

C) 3;

D) 4.

Для решения показательного неравенства $0,25^{2+0,5x^2} > 32^x$ необходимо привести обе его части к одному основанию. Наиболее удобным общим основанием является число 2.

Представим десятичную дробь 0,25 и число 32 в виде степеней двойки. Число $0,25$ равно дроби $\frac{1}{4}$, что можно записать как $\frac{1}{2^2}$ или, используя отрицательный показатель, $2^{-2}$. Число $32$ является пятой степенью двойки: $32 = 2^5$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство: $(2^{-2})^{2+0,5x^2} > (2^5)^x$.

Далее, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим обе части неравенства: $2^{-2(2+0,5x^2)} > 2^{5x}$ $2^{-4 - x^2} > 2^{5x}$.

Поскольку основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), то при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется. Таким образом, получаем: $-4 - x^2 > 5x$.

Это квадратное неравенство. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2+bx+c < 0$: $x^2 + 5x + 4 < 0$.

Чтобы решить полученное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 4. Отсюда легко находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-4; -1)$.

В задании требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целыми числами, которые принадлежат интервалу $(-4; -1)$, являются -3 и -2. Наибольшим из этих чисел является -2.

Ответ: -2.