Номер 26.16, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Найдите области определений функции y = f(x) (26.16—26.17):

26.16. 1) $f(x) = \text{lg}(4 - x^2) + \sqrt{\frac{1 + \text{lg}^2 x}{\text{lg}^2 x}} - 1$;

2) $f(x) = \sqrt{\left|\log_{\frac{1}{3}} \log_3 (x - 3)\right| + \sqrt{x^2 - 25}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \lg(4 - x^2) + \sqrt{\frac{1 + \lg^2 x}{\lg^2 x} - 1}$ задается системой условий, обеспечивающих существование всех ее частей (логарифмов и квадратного корня):

$\begin{cases} 4 - x^2 > 0 & \text{(аргумент логарифма должен быть положителен)} \\x > 0 & \text{(аргумент вложенного логарифма должен быть положителен)} \\\lg^2 x \neq 0 & \text{(знаменатель не должен быть равен нулю)} \\\frac{1 + \lg^2 x}{\lg^2 x} - 1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение должно быть неотрицательно)}\end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Из неравенства $4 - x^2 > 0$ следует $x^2 < 4$, что равносильно $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

2. Условие существования $\lg x$ — это $x > 0$.

3. Условие $\lg^2 x \neq 0$ означает, что $\lg x \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

4. Решим неравенство для подкоренного выражения: $\frac{1 + \lg^2 x}{\lg^2 x} - 1 \ge 0$. Приводя к общему знаменателю, получаем: $\frac{1 + \lg^2 x - \lg^2 x}{\lg^2 x} \ge 0$, что упрощается до $\frac{1}{\lg^2 x} \ge 0$. Это неравенство верно всегда, когда выражение определено, то есть когда $\lg^2 x \neq 0$. Это условие уже учтено в пункте 3.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных условий:

$\begin{cases} -2 < x < 2 \\x > 0 \\x \neq 1\end{cases}$

Пересечением интервалов $(-2, 2)$ и $(0, +\infty)$ является интервал $(0, 2)$. Исключив из него точку $x=1$, мы получаем итоговую область определения функции.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\log_3(x-3)} + \sqrt{x^2 - 25}$ определяется системой неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}\log_3(x-3) \ge 0 \\x^2 - 25 \ge 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}\log_3(x-3) \ge 0$.

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1, логарифмическая функция является убывающей. Неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(A) \ge 0$ (где $0 = \log_{\frac{1}{3}}(1)$) равносильно двойному неравенству $0 < A \le 1$. В нашем случае $A = \log_3(x-3)$, поэтому:

$0 < \log_3(x-3) \le 1$.

Решим это двойное неравенство:

а) $\log_3(x-3) > 0$. Так как $0 = \log_3(1)$, получаем $\log_3(x-3) > \log_3(1)$. Поскольку основание $3 > 1$, функция возрастающая, следовательно, $x-3 > 1$, откуда $x > 4$.

б) $\log_3(x-3) \le 1$. Так как $1 = \log_3(3)$, получаем $\log_3(x-3) \le \log_3(3)$. Следовательно, $x-3 \le 3$, откуда $x \le 6$.

Объединяя результаты для первого подкоренного выражения, получаем $4 < x \le 6$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 25 \ge 0$.

Оно равносильно $x^2 \ge 25$, что дает $|x| \ge 5$, то есть $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

Для нахождения области определения исходной функции найдем пересечение полученных множеств:

$\begin{cases} 4 < x \le 6 \\x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)\end{cases}$

Пересекая интервал $(4, 6]$ с множеством $(-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $x \in [5, 6]$.