Номер 26.9, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.9. 1) $\log_{\frac{1}{6}}\left(\log_2\left(\sqrt{6-x}\right)\right) > 0;$

2) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right) > 0;$

3) $\log_{0.5}\log_5\left(\frac{x-2}{x+2}\right) > \log_{0.5}1;$

4) $\log_{2.5}\left(\log_3\left(9^x - 6\right)\right) > 0.$

1) $\log_{\frac{1}{6}}(\log_2 \sqrt{6-x}) > 0$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент внешнего логарифма должен быть строго больше нуля: $\log_2 \sqrt{6-x} > 0$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, это неравенство равносильно $\sqrt{6-x} > 2^0$, то есть $\sqrt{6-x} > 1$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $6-x > 1$, откуда $x < 5$.

Также аргумент внутреннего логарифма должен быть больше нуля: $\sqrt{6-x} > 0$, что означает $6-x > 0$, или $x < 6$.

Объединяя условия ОДЗ ($x < 5$ и $x < 6$), получаем, что ОДЗ: $x < 5$.

Теперь решаем исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{6}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_2 \sqrt{6-x} < (\frac{1}{6})^0$

$\log_2 \sqrt{6-x} < 1$

Так как основание внутреннего логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\sqrt{6-x} < 2^1$

$\sqrt{6-x} < 2$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$6-x < 4$

$x > 2$

Находим пересечение полученного решения $x > 2$ с ОДЗ $x < 5$.

Итоговое решение: $2 < x < 5$.

Ответ: $(2; 5)$

2) $\log_{\frac{1}{2}}(\log_3 \frac{x+1}{x-1}) > 0$

Найдем ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля:

$\log_3 \frac{x+1}{x-1} > 0$

Так как основание $3 > 1$, то $\frac{x+1}{x-1} > 3^0$, то есть $\frac{x+1}{x-1} > 1$.

$\frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 \implies \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} > 0 \implies \frac{2}{x-1} > 0$.

Это неравенство выполняется при $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.

Аргумент внутреннего логарифма также должен быть больше нуля: $\frac{x+1}{x-1} > 0$. Методом интервалов находим, что это верно при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Пересечение условий ОДЗ ($x>1$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$) дает нам ОДЗ: $x > 1$.

Решаем исходное неравенство. Основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется:

$\log_3 \frac{x+1}{x-1} < (\frac{1}{2})^0$

$\log_3 \frac{x+1}{x-1} < 1$

Основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{x-1} < 3^1$

$\frac{x+1}{x-1} - 3 < 0 \implies \frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1} < 0 \implies \frac{x+1-3x+3}{x-1} < 0 \implies \frac{4-2x}{x-1} < 0$.

$\frac{2(2-x)}{x-1} < 0 \implies \frac{x-2}{x-1} > 0$.

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

Пересекая это решение с ОДЗ $x > 1$, получаем $x > 2$.

Ответ: $(2; \infty)$

3) $\log_{0,5} (\log_5 \frac{x-2}{x+2}) > \log_{0,5} 1$

Правая часть неравенства равна нулю: $\log_{0,5} 1 = 0$. Неравенство принимает вид:

$\log_{0,5} (\log_5 \frac{x-2}{x+2}) > 0$

Находим ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля:

$\log_5 \frac{x-2}{x+2} > 0$

Так как основание $5 > 1$, то $\frac{x-2}{x+2} > 5^0$, то есть $\frac{x-2}{x+2} > 1$.

$\frac{x-2}{x+2} - 1 > 0 \implies \frac{x-2 - (x+2)}{x+2} > 0 \implies \frac{-4}{x+2} > 0$.

Это выполняется, когда знаменатель отрицателен: $x+2 < 0 \implies x < -2$.

Аргумент внутреннего логарифма также должен быть положителен: $\frac{x-2}{x+2} > 0$, что верно при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Пересечение условий ОДЗ ($x < -2$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$) дает ОДЗ: $x < -2$.

Решаем исходное неравенство. Основание $0,5 < 1$, поэтому знак меняется на противоположный:

$\log_5 \frac{x-2}{x+2} < 0,5^0$

$\log_5 \frac{x-2}{x+2} < 1$

Основание $5 > 1$, знак сохраняется:

$\frac{x-2}{x+2} < 5$

$\frac{x-2}{x+2} - 5 < 0 \implies \frac{x-2 - 5(x+2)}{x+2} < 0 \implies \frac{-4x - 12}{x+2} < 0$.

$\frac{-4(x+3)}{x+2} < 0 \implies \frac{x+3}{x+2} > 0$.

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; \infty)$.

Находим пересечение этого решения с ОДЗ $x < -2$. Получаем $x < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$

4) $\log_{2,5} (\log_3 (9^x - 6)) > 0$

Найдем ОДЗ. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля:

$\log_3 (9^x - 6) > 0$

Основание $3 > 1$, поэтому $9^x - 6 > 3^0 \implies 9^x - 6 > 1 \implies 9^x > 7$.

Отсюда $x > \log_9 7$.

Аргумент внутреннего логарифма также должен быть больше нуля: $9^x - 6 > 0 \implies 9^x > 6 \implies x > \log_9 6$.

Так как $\log_9 7 > \log_9 6$, то ОДЗ: $x > \log_9 7$.

Решаем исходное неравенство. Основание $2,5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_3 (9^x - 6) > 2,5^0$

$\log_3 (9^x - 6) > 1$

Основание $3 > 1$, знак сохраняется:

$9^x - 6 > 3^1$

$9^x > 9$

$9^x > 9^1 \implies x > 1$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x > 1$ с ОДЗ $x > \log_9 7$.

Сравним $1$ и $\log_9 7$. Представим $1$ как логарифм с основанием 9: $1 = \log_9 9$.

Поскольку $9 > 7$ и основание логарифма $9 > 1$, то $\log_9 9 > \log_9 7$, следовательно $1 > \log_9 7$.

Пересечением интервалов $x > 1$ и $x > \log_9 7$ является интервал $x > 1$.

Ответ: $(1; \infty)$