Номер 26.10, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.10. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{\log_{2.1} \frac{3x-1}{5-x} + \sqrt{x-4}}$;

2) $f(x) = \sqrt{-x^2 + 3x - 2 + \sqrt{\ln(x+x^2)}}$;

3) $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (3x - 2) + \sqrt[4]{x+1}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{2,1} \frac{3x - 1}{5 - x}} + \sqrt{x - 4}$ находится из системы неравенств, так как подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\begin{cases} \log_{2,1} \frac{3x - 1}{5 - x} \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

Решим первое неравенство. Так как основание логарифма $2,1 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому неравенство равносильно следующему (при этом условие положительности аргумента логарифма выполняется автоматически):

$\frac{3x - 1}{5 - x} \ge 2,1^0$

$\frac{3x - 1}{5 - x} \ge 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x - 1}{5 - x} - 1 \ge 0$

$\frac{3x - 1 - (5 - x)}{5 - x} \ge 0$

$\frac{4x - 6}{5 - x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$4x - 6 = 0 \implies x = \frac{6}{4} = 1,5$

$5 - x = 0 \implies x = 5$

Отметим точки $x=1,5$ (включительно) и $x=5$ (исключительно) на числовой оси и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Для $x > 5$ выражение отрицательно. При переходе через точки знаки чередуются.

$(-\infty; 1,5] \implies -$

$[1,5; 5) \implies +$

$(5; +\infty) \implies -$

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно, то есть $x \in [1,5; 5)$.

Теперь найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \in [1,5; 5) \\ x \ge 4 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $[4; 5)$.

Ответ: $D(f) = [4; 5)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{-x^2 + 3x - 2} + \sqrt{\ln(x + x^2)}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \\ \ln(x + x^2) \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$-x^2 + 3x - 2 \ge 0 \implies x^2 - 3x + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их: $x \in [1; 2]$.

Решим второе неравенство. Основание натурального логарифма $e > 1$, поэтому функция возрастающая. Неравенство $\ln(x + x^2) \ge 0 = \ln(1)$ равносильно:

$x + x^2 \ge 1$

$x^2 + x - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Парабола $y = x^2 + x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями:

$x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$

Теперь найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \in [1; 2] \\ x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty) \end{cases}$

Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2,236$.

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1,618$.

$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,618$.

Интервал $[1; 2]$ не пересекается с $(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}]$.

Найдем пересечение $[1; 2]$ и $[\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$. Так как $1 > 0,618$, то пересечением является сам интервал $[1; 2]$.

Ответ: $D(f) = [1; 2]$.

3) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2)} + \sqrt[4]{x + 1}$ находится из системы неравенств, так как подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Решим первое неравенство. Оно равносильно системе, учитывающей, что аргумент логарифма должен быть строго положителен:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) \ge 0 \end{cases}$

Представим правую часть неравенства в виде логарифма: $0 = \log_{\frac{1}{2}}(1)$.

$\log_{\frac{1}{2}}(3x - 2) \ge \log_{\frac{1}{2}}(1)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 2 \le 1$

Теперь решим систему:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 3x - 2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 2 \\ 3x \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является полуинтервал $x \in (\frac{2}{3}; 1]$.

Найдем пересечение решений исходной системы:

$\begin{cases} x \in (\frac{2}{3}; 1] \\ x \ge -1 \end{cases}$

Так как $\frac{2}{3} > -1$, то пересечением является промежуток $(\frac{2}{3}; 1]$.

Ответ: $D(f) = (\frac{2}{3}; 1]$.