Номер 26.12, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.12. Решите логарифмические неравенства и укажите два значения $x$, являющиеся решениями неравенства:

1) $\log_{0,1}(x - 2) - \lg x > \log_{0,1} 3;$

2) $\log_{0,5} x - \log_2(x - 3) < \log_{0,5} 4;$

3) $\log_{0,2} x - \log_5(x - 2) < \log_{0,2} 3;$

4) $\lg x - \log_{0,1}(x - 1) > \log_{0,1} 0,5.$

1) $\log_{0.1}(x-2) - \lg x > \log_{0.1} 3$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

2. Преобразуем неравенство, приведя все логарифмы к общему основанию. Учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$, приведём всё к основанию 10.

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:

$\log_{0.1}(x-2) = \frac{\lg(x-2)}{\lg(0.1)} = \frac{\lg(x-2)}{-1} = -\lg(x-2)$.

$\log_{0.1} 3 = \frac{\lg 3}{\lg(0.1)} = \frac{\lg 3}{-1} = -\lg 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$-\lg(x-2) - \lg x > -\lg 3$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\lg(x-2) + \lg x < \lg 3$.

Используя свойство суммы логарифмов, получаем:

$\lg(x(x-2)) < \lg 3$.

3. Решим полученное неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x(x-2) < 3 \implies x^2 - 2x - 3 < 0$.

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Решением неравенства $(x+1)(x-3) < 0$ является интервал $(-1, 3)$.

4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -1 < x < 3 \\ x > 2 \end{cases} \implies 2 < x < 3$.

Решением неравенства является интервал $(2, 3)$. Два значения $x$, являющиеся решениями: например, $x=2.5$ и $x=2.8$.

Ответ: $x \in (2, 3)$; примеры решений: $x=2.5, x=2.8$.

2) $\log_{0.5} x - \log_2(x-3) < \log_{0.5} 4$

1. Найдём ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.

ОДЗ: $x \in (3, \infty)$.

2. Приведём логарифмы к одному основанию 0.5. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_2(x-3) = \log_{0.5^{-1}}(x-3) = -1 \cdot \log_{0.5}(x-3) = -\log_{0.5}(x-3)$.

Подставим в неравенство:

$\log_{0.5} x - (-\log_{0.5}(x-3)) < \log_{0.5} 4$

$\log_{0.5} x + \log_{0.5}(x-3) < \log_{0.5} 4$

$\log_{0.5}(x(x-3)) < \log_{0.5} 4$.

3. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:

$x(x-3) > 4 \implies x^2 - 3x - 4 > 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.

Решением неравенства $(x+1)(x-4) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

4. Учитывая ОДЗ ($x > 3$), получаем окончательное решение:

$x \in (4, \infty)$.

Два значения $x$, являющиеся решениями неравенства: например, $x = 5$ и $x = 10$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$; примеры решений: $x=5, x=10$.

3) $\log_{0.2} x - \log_5(x-2) < \log_{0.2} 3$

1. Найдём ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

2. Приведём логарифмы к основанию 0.2. Так как $0.2 = 1/5 = 5^{-1}$, то $\log_5(x-2) = \log_{0.2^{-1}}(x-2) = -\log_{0.2}(x-2)$.

Подставим в неравенство:

$\log_{0.2} x - (-\log_{0.2}(x-2)) < \log_{0.2} 3$

$\log_{0.2} x + \log_{0.2}(x-2) < \log_{0.2} 3$

$\log_{0.2}(x(x-2)) < \log_{0.2} 3$.

3. Решим неравенство. Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x(x-2) > 3 \implies x^2 - 2x - 3 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Решение неравенства $(x+1)(x-3) > 0$ есть $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

4. Учитывая ОДЗ ($x > 2$), получаем окончательное решение:

$x \in (3, \infty)$.

Два значения $x$, являющиеся решениями неравенства: например, $x = 4$ и $x = 6$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$; примеры решений: $x=4, x=6$.

4) $\lg x - \log_{0.1}(x-1) > \log_{0.1} 0.5$

1. Найдём ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

2. Приведём логарифмы к основанию 0.1. Так как $\lg x = \log_{10} x$ и $10 = 0.1^{-1}$, то $\lg x = \log_{0.1^{-1}} x = -\log_{0.1} x$.

Подставим в неравенство:

$-\log_{0.1} x - \log_{0.1}(x-1) > \log_{0.1} 0.5$.

Вынесем минус за скобки и умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\log_{0.1} x + \log_{0.1}(x-1) < \log_{0.1} 0.5$

$\log_{0.1}(x(x-1)) < \log_{0.1} 0.5$.

3. Решим неравенство. Основание $0.1 < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x-1) > 0.5 \implies x^2 - x - 0.5 > 0 \implies 2x^2 - 2x - 1 > 0$.

Найдём корни уравнения $2x^2 - 2x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Решение неравенства есть $x \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \infty)$.

4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 1$).

Так как $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0$ и $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1+1.732}{2} \approx 1.366 > 1$, пересечением с интервалом $(1, \infty)$ будет $x \in (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \infty)$.

Два значения $x$, являющиеся решениями неравенства: например, $x = 2$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \infty)$; примеры решений: $x=2, x=3$.