Номер 26.6, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.6. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x}{x-1}};$

2) $f(x)=\sqrt{\log_3\frac{x-1}{x+5}}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1}}$ находится из следующих условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\frac{2x}{x-1} > 0$.

3. Знаменатель дроби в аргументе логарифма не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. При этом аргумент логарифма должен оставаться положительным, что уже учтено во втором условии.

Таким образом, исходные условия сводятся к системе неравенств:

Решая логарифмическое неравенство, получаем:

$\frac{2x}{x-1} \le (\frac{1}{2})^0$

$\frac{2x}{x-1} \le 1$

Итак, нам нужно найти решение системы:

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $0 < \frac{2x}{x-1} \le 1$.

Решим его, разбив на два отдельных неравенства.

Первое неравенство: $\frac{2x}{x-1} > 0$.

Методом интервалов находим, что числитель равен нулю при $x=0$, а знаменатель при $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{2x}{x-1} \le 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - (x-1)}{x-1} \le 0$

$\frac{x+1}{x-1} \le 0$

Методом интервалов находим, что числитель равен нулю при $x=-1$, а знаменатель при $x=1$. Точки разбивают числовую прямую на интервалы. Учитывая знак неравенства ($\le$), получаем решение: $x \in [-1, 1)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $D(f) = ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)) \cap [-1, 1)$.

Пересечение этих множеств дает промежуток $[-1, 0)$.

Ответ: $x \in [-1, 0)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{3} \frac{x-1}{x+5}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\log_{3} \frac{x-1}{x+5} \ge 0$.

Это условие также неявно включает в себя требования, что аргумент логарифма $\frac{x-1}{x+5}$ должен быть положительным, и знаменатель $x+5$ не равен нулю.

Так как основание логарифма $a=3$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-1}{x+5} \ge 3^0$

$\frac{x-1}{x+5} \ge 1$

Решим это рациональное неравенство. Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x-1}{x+5} - 1 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-1) - (x+5)}{x+5} \ge 0$

$\frac{x-1-x-5}{x+5} \ge 0$

$\frac{-6}{x+5} \ge 0$

Числитель дроби, $-6$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была неотрицательной, знаменатель $x+5$ должен быть строго отрицательным (так как он не может быть равен нулю).

$x+5 < 0$

Отсюда получаем:

$x < -5$

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty, -5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5)$.