Вопросы, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Что является основой для решения логарифмических неравенств?

2. Почему решение логарифмических неравенств в большинстве случаев сводится к рассмотрению системы неравенств?

1. Что является основой для решения логарифмических неравенств?

Основой для решения логарифмических неравенств является свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Поведение функции, а следовательно, и метод решения неравенства, напрямую зависит от величины ее основания $a$.

1. Если основание логарифма больше единицы ($a > 1$), то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства, связывающего логарифмы, к неравенству, связывающему их аргументы (подлогарифмические выражения), знак неравенства сохраняется.

Например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a > 1$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

2. Если основание логарифма находится в интервале от нуля до единицы ($0 < a < 1$), то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $0 < a < 1$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$.

Ответ: Свойство монотонности логарифмической функции, которое зависит от ее основания.

2. Почему решение логарифмических неравенств в большинстве случаев сводится к рассмотрению системы неравенств?

Решение логарифмических неравенств сводится к системе неравенств, потому что, помимо самого неравенства для аргументов (которое следует из свойства монотонности, описанного в пункте 1), необходимо учитывать область определения (ОДЗ) логарифмической функции.

Логарифм $\log_a B$ определен (имеет смысл) только при выполнении следующих условий:

- Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $B > 0$.

- Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $a > 0$ и $a \neq 1$.

При решении логарифмического неравенства все эти ограничения должны выполняться одновременно с основным неравенством. Совокупность условий, которые должны выполняться одновременно, и представляет собой систему неравенств.

Рассмотрим, например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при постоянном основании $a > 1$. Для его решения нужно потребовать, чтобы:

1. Аргумент первого логарифма был положителен: $f(x) > 0$.

2. Аргумент второго логарифма был положителен: $g(x) > 0$.

3. Выполнялось само неравенство для аргументов: $f(x) > g(x)$.

Это приводит к системе: $ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Заметим, что из первого и третьего неравенств ($f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$) автоматически следует второе ($f(x) > 0$), поэтому систему можно упростить:

$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Тем не менее, мы все равно решаем именно систему неравенств.

Ответ: Потому что необходимо одновременно учитывать как неравенство для подлогарифмических выражений, вытекающее из свойства монотонности функции, так и условия из области определения логарифмической функции (положительность аргументов и соответствующие ограничения на основание).