Номер 26.7, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите логарифмические неравенства (26.7—26.9):

26.7. 1) $ \lg(x^2 + 2x + 2) < 1; $

2) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2; $

3) $ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1; $

4) $ \log_2(x^2 + 10) < 4. $

1) $\lg(x^2 + 2x + 2) < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 2x + 2 > 0$

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно для всех действительных $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in R$.

Теперь решим само неравенство. Основание десятичного логарифма равно 10, а $10 > 1$, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

Представим 1 как логарифм по основанию 10: $1 = \lg(10)$.

$\lg(x^2 + 2x + 2) < \lg(10)$

$x^2 + 2x + 2 < 10$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 8$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

$-4 < x < 2$.

Поскольку ОДЗ охватывает все действительные числа, полученный интервал и является решением неравенства.

Ответ: $(-4; 2)$.

2) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$: $-2 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$.

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > \log_{\frac{1}{2}}(4)$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2; 3)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in (-2; 3)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-2; -1) \cup (2; 3)$.

Ответ: $(-2; -1) \cup (2; 3)$.

3) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$

Найдем ОДЗ: $x^2 + 3x - 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$. Корни $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in \left(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty\right)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

Представим -1 как логарифм по основанию $\frac{1}{3}$: $-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$.

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(3)$

$x^2 + 3x - 1 > 3$

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

Найдем пересечение решения $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$ с ОДЗ. Сравним границы интервалов:

$(-4)$ и $(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2})$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-6.6}{2} = -3.3$. Поскольку $-4 < -3.3$, интервал $(-\infty; -4)$ является подмножеством интервала $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2})$.

$1$ и $(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$. $\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{0.6}{2} = 0.3$. Поскольку $1 > 0.3$, интервал $(1; +\infty)$ является подмножеством интервала $(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

Таким образом, решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

4) $\log_2(x^2 + 10) < 4$

Найдем ОДЗ: $x^2 + 10 > 0$.

Так как $x^2 \geq 0$ для любого $x$, то $x^2 + 10 \geq 10$. Следовательно, выражение $x^2 + 10$ всегда положительно.

ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим 4 как логарифм по основанию 2: $4 = \log_2(2^4) = \log_2(16)$.

$\log_2(x^2 + 10) < \log_2(16)$

$x^2 + 10 < 16$

$x^2 - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$. Корни $x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$.

Неравенство $x^2 - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$.

Решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.