Номер 26.5, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26.5. Укажите неравенство, в котором неверно выполнена замена первого выражения вторым:

1) $\log_{0,5}(x - 2) > 1$, откуда следует $x - 2 < 0,5$;

2) $\log_{0,2}(x - 2) > \log_{0,2}3$, откуда следует $x - 2 < 3$;

3) $\ln(x + 5) > \ln5$, откуда следует $x + 5 > 5$;

4) $\ln^2(x - 3) < 4$, откуда следует $-2 < \ln(x - 3) < 2$.

Для того чтобы определить, в каком неравенстве неверно выполнена замена, необходимо проанализировать каждый случай, применяя свойства логарифмических функций и правила решения неравенств.

1) $\log_{0,5}(x - 2) > 1$, откуда следует $x - 2 < 0,5$

Рассмотрим логарифмическое неравенство $\log_{0,5}(x - 2) > 1$.

Основание логарифма $a = 0,5$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5: $1 = \log_{0,5}(0,5^1) = \log_{0,5}(0,5)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0,5}(x - 2) > \log_{0,5}(0,5)$.

При потенцировании (избавлении от знака логарифма) меняем знак неравенства:

$x - 2 < 0,5$.

Этот переход является одним из шагов решения. Полное решение также требует учета области определения логарифма ($x - 2 > 0$), но сам шаг потенцирования выполнен верно. Следовательно, замена корректна как этап решения.

Ответ: Замена выполнена верно.

2) $\log_{0,2}(x - 2) > \log_{0,2}3$, откуда следует $x - 2 < 3$

Рассмотрим неравенство $\log_{0,2}(x - 2) > \log_{0,2}3$.

Основание логарифма $a = 0,2$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей.

При решении неравенств вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ с основанием $0 < a < 1$ переходят к равносильной системе неравенств:

$$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $$

В нашем случае $f(x) = x - 2$ и $g(x) = 3$. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x - 2 < 3 \\ x - 2 > 0 \end{cases} $$

Решением этой системы является интервал $2 < x < 5$.

Предложенная замена $x - 2 < 3$ является лишь частью правильного равносильного перехода. Она не учитывает область определения логарифма $\log_{0,2}(x - 2)$, а именно условие $x - 2 > 0$. Решением неравенства $x - 2 < 3$ является $x < 5$, что не совпадает с решением исходного неравенства. Таким образом, замена первого выражения вторым выполнена неверно, так как она не является равносильным преобразованием и приводит к появлению посторонних решений.

Ответ: Замена выполнена неверно.

3) $\ln(x + 5) > \ln5$, откуда следует $x + 5 > 5$

Рассмотрим неравенство $\ln(x + 5) > \ln5$.

Натуральный логарифм ($\ln$) имеет основание $e \approx 2,718$, что больше 1. Логарифмическая функция с основанием $a > 1$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

Неравенство $\ln(x + 5) > \ln5$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} x + 5 > 5 \\ 5 > 0 \end{cases} $$

Условие $5 > 0$ истинно. Условие $x + 5 > 5$ (т.е. $x > 0$) автоматически обеспечивает выполнение условия из области определения логарифма $x + 5 > 0$. Таким образом, переход к неравенству $x + 5 > 5$ является равносильным.

Ответ: Замена выполнена верно.

4) $\ln^2(x - 3) < 4$, откуда следует $-2 < \ln(x - 3) < 2$

Рассмотрим неравенство $\ln^2(x - 3) < 4$.

Пусть $y = \ln(x - 3)$. Тогда неравенство принимает вид $y^2 < 4$.

Неравенство вида $y^2 < c^2$ (где $c>0$) равносильно двойному неравенству $|y| < c$, или $-c < y < c$.

В нашем случае $c=2$, поэтому $y^2 < 4$ равносильно $-2 < y < 2$.

Выполняя обратную замену $y = \ln(x - 3)$, получаем:

$-2 < \ln(x - 3) < 2$.

Это преобразование является равносильным. Область определения ($x - 3 > 0$) сохраняется, так как из $-2 < \ln(x - 3) < 2$ следует $e^{-2} < x-3 < e^2$, а поскольку $e^{-2} > 0$, то условие $x-3>0$ выполняется автоматически.

Ответ: Замена выполнена верно.

Таким образом, единственное неравенство, в котором неверно выполнена замена, находится под номером 2.

Ответ: 2.