Номер 25.16, страница 198 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.16. Найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = xe^{2x}$;

2) $y = xlnx.

1) $y = xe^{2x}$;

Для нахождения промежутков возрастания функции найдем ее производную и определим, на каких интервалах производная положительна. Область определения функции $y = xe^{2x}$ — все действительные числа, так как множители $x$ и $e^{2x}$ определены на всей числовой оси. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (xe^{2x})' = (x)' \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x} \cdot 2) = e^{2x} + 2xe^{2x}$.

Вынесем общий множитель $e^{2x}$ за скобки:

$y' = e^{2x}(1 + 2x)$.

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$e^{2x}(1 + 2x) = 0$.

Так как $e^{2x} > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только при $1 + 2x = 0$, откуда $x = -0.5$.

Эта критическая точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; -0.5)$ и $(-0.5; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

На интервале $(-\infty; -0.5)$, возьмем пробную точку $x = -1$: $y'(-1) = e^{-2}(1 - 2) = -e^{-2} < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.

На интервале $(-0.5; +\infty)$, возьмем пробную точку $x = 0$: $y'(0) = e^{0}(1 + 0) = 1 > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке, где ее производная положительна. Включая граничную точку, так как функция в ней непрерывна, получаем промежуток возрастания $[-0.5; +\infty)$.

Ответ: $[-0.5; +\infty)$.

2) $y = x\ln{x}$.

Для нахождения промежутков возрастания функции найдем ее производную. Область определения функции $y = x \ln x$ задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положителен. Итак, $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения:

$y' = (x\ln{x})' = (x)' \cdot \ln{x} + x \cdot (\ln{x})' = 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$\ln{x} + 1 = 0 \implies \ln{x} = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Эта точка принадлежит области определения. Она делит область определения на два интервала: $(0; \frac{1}{e})$ и $(\frac{1}{e}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

На интервале $(0; \frac{1}{e})$, возьмем пробную точку $x = \frac{1}{e^2}$: $y'(\frac{1}{e^2}) = \ln(\frac{1}{e^2}) + 1 = -2 + 1 = -1 < 0$. Функция убывает.

На интервале $(\frac{1}{e}; +\infty)$, возьмем пробную точку $x = e$: $y'(e) = \ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутке, где производная положительна. Включая граничную точку из-за непрерывности функции, получаем промежуток $[\frac{1}{e}; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{1}{e}; +\infty)$.