Номер 25.17, страница 198 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.17. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$

в точке с абсциссой $x_0 = 0$:

1) $y = x - 2\sqrt{x + 4};$

2) $y = \sqrt{2x + 1};$

3) $y = (x + 1)e^{3x};$

4) $y = (x + e)\ln(x + e).$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для всех заданий абсцисса точки касания $x_0 = 0$, поэтому уравнение касательной принимает вид: $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$, или $y = f'(0)x + f(0)$.

1) Дана функция $f(x) = x - 2\sqrt{x+4}$.

Сначала найдем значение функции в точке касания $x_0 = 0$:

$f(0) = 0 - 2\sqrt{0+4} = -2\sqrt{4} = -2 \cdot 2 = -4$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - 2\sqrt{x+4})' = (x)' - (2(x+4)^{\frac{1}{2}})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}(x+4)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x+4)' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x+4}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 1 - \frac{1}{\sqrt{0+4}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $f(0)=-4$ и $f'(0)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной $y = f'(0)x + f(0)$:

$y = \frac{1}{2}x + (-4)$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 4$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x+1}$.

Сначала найдем значение функции в точке касания $x_0 = 0$:

$f(0) = \sqrt{2 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{2x+1})' = ((2x+1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$.

Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной $y = f'(0)x + f(0)$:

$y = 1 \cdot x + 1$.

Ответ: $y = x + 1$.

3) Дана функция $f(x) = (x+1)e^{3x}$.

Сначала найдем значение функции в точке касания $x_0 = 0$:

$f(0) = (0+1)e^{3 \cdot 0} = 1 \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+1)e^{3x})' = (x+1)'e^{3x} + (x+1)(e^{3x})' = 1 \cdot e^{3x} + (x+1) \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3(x+1)) = e^{3x}(1+3x+3) = e^{3x}(3x+4)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = e^{3 \cdot 0}(3 \cdot 0 + 4) = e^0 \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$.

Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=4$ в уравнение касательной $y = f'(0)x + f(0)$:

$y = 4x + 1$.

Ответ: $y = 4x + 1$.

4) Дана функция $f(x) = (x+e)\ln(x+e)$.

Сначала найдем значение функции в точке касания $x_0 = 0$:

$f(0) = (0+e)\ln(0+e) = e\ln(e) = e \cdot 1 = e$.

Теперь найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+e)\ln(x+e))' = (x+e)'\ln(x+e) + (x+e)(\ln(x+e))' = 1 \cdot \ln(x+e) + (x+e) \cdot \frac{1}{x+e} = \ln(x+e) + 1$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \ln(0+e) + 1 = \ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2$.

Подставим найденные значения $f(0)=e$ и $f'(0)=2$ в уравнение касательной $y = f'(0)x + f(0)$:

$y = 2x + e$.

Ответ: $y = 2x + e$.