Номер 26.1, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите логарифмические неравенства (26.1–26.4):

26.1. 1) $\log_5(3 + 8x) > 0;$

2) $\log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2;$

3) $\log_2(x - 3) < 3;$

4) $\lg(4x - 1) < 1.$

1) Решим неравенство $log_5(3 + 8x) > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3 + 8x > 0$

$8x > -3$

$x > -\frac{3}{8}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 5:

$0 = log_5(1)$

Неравенство примет вид:

$log_5(3 + 8x) > log_5(1)$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3 + 8x > 1$

$8x > 1 - 3$

$8x > -2$

$x > -\frac{2}{8}$

$x > -\frac{1}{4}$

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть найти пересечение решений $x > -\frac{3}{8}$ и $x > -\frac{1}{4}$.

Поскольку $-\frac{1}{4} > -\frac{3}{8}$ (так как $-0.25 > -0.375$), решением системы неравенств будет $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2$.

Найдем ОДЗ:

$7 - x > 0$

$x < 7$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$:

$-2 = log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = log_{\frac{1}{3}}(3^2) = log_{\frac{1}{3}}(9)$

Неравенство примет вид:

$log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > log_{\frac{1}{3}}(9)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$7 - x < 9$

$-x < 9 - 7$

$-x < 2$

$x > -2$

Учтем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $-2 < x < 7$.

Ответ: $x \in (-2; 7)$.

3) Решим неравенство $log_2(x - 3) < 3$.

Найдем ОДЗ:

$x - 3 > 0$

$x > 3$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2:

$3 = log_2(2^3) = log_2(8)$

Неравенство примет вид:

$log_2(x - 3) < log_2(8)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$x - 3 < 8$

$x < 8 + 3$

$x < 11$

Учтем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x > 3 \\ x < 11 \end{cases}$

Решением системы является интервал $3 < x < 11$.

Ответ: $x \in (3; 11)$.

4) Решим неравенство $lg(4x - 1) < 1$.

Напомним, что $lg$ — это десятичный логарифм, то есть $log_{10}$.

Найдем ОДЗ:

$4x - 1 > 0$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде десятичного логарифма:

$1 = lg(10^1) = lg(10)$

Неравенство примет вид:

$lg(4x - 1) < lg(10)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$4x - 1 < 10$

$4x < 11$

$x < \frac{11}{4}$

Учтем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x < \frac{11}{4} \end{cases}$

Решением системы является интервал $\frac{1}{4} < x < \frac{11}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{11}{4})$.