Номер 25.14, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.14. Решите системы неравенств:

1) $\begin{cases} 2^{x+2} - 0.75 \cdot 2^{x+2} > 1, \\ 0.2^x < 0.04^{x^2} \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - 2)^{2x^2 - 11x + 9} < 1, \\ (0.3)^{\sqrt{4x^2 - 8x + 2}} > (0.3)^{\sqrt{x}} \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2^{x+2} - 0,75 \cdot 2^{x+2} > 1 \\ 0,2^x < 0,04^{x^2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2^{x+2} - 0,75 \cdot 2^{x+2} > 1$

Вынесем общий множитель $2^{x+2}$ за скобки:

$2^{x+2}(1 - 0,75) > 1$

$2^{x+2} \cdot 0,25 > 1$

Представим $0,25$ как степень двойки: $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.

$2^{x+2} \cdot 2^{-2} > 1$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{x+2-2} > 2^0$

$2^x > 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$x > 0$

Решение первого неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$0,2^x < 0,04^{x^2}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $0,2$. Учтем, что $0,04 = (0,2)^2$.

$0,2^x < (0,2^2)^{x^2}$

$0,2^x < 0,2^{2x^2}$

Так как основание степени $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) < 0$

Корнями уравнения $x(2x-1)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{2}=0,5$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (0; 0,5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (0; 0,5)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(0; 0,5)$.

Ответ: $(0; 0,5)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x-2)^{2x^2-11x+9} < 1 \\ (0,3)^{\sqrt{4x^2-8x+2}} > (0,3)^{\sqrt{x}} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x-2)^{2x^2-11x+9} < 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что основание степени должно быть положительным: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Представим 1 как $(x-2)^0$ и рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание степени больше 1.

$x - 2 > 1 \implies x > 3$.

В этом случае показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2 - 11x + 9 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 9 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.

$x_1 = \frac{11-\sqrt{49}}{4} = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11+\sqrt{49}}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$.

Решением неравенства $2x^2 - 11x + 9 < 0$ является интервал $(1; 4,5)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 3$: $(1; 4,5) \cap (3; +\infty) = (3; 4,5)$.

Случай 2: Основание степени находится в интервале от 0 до 1.

$0 < x - 2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

В этом случае показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$2x^2 - 11x + 9 > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (4,5; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $2 < x < 3$: $((-\infty; 1) \cup (4,5; +\infty)) \cap (2; 3) = \emptyset$.

Объединив решения из двух случаев, получаем решение первого неравенства: $x \in (3; 4,5)$.

2. Решим второе неравенство: $(0,3)^{\sqrt{4x^2-8x+2}} > (0,3)^{\sqrt{x}}$.

Найдем ОДЗ. Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} 4x^2 - 8x + 2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы ОДЗ: $2x^2 - 4x + 1 \ge 0$.

Корни уравнения $2x^2 - 4x + 1 = 0$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = 1 \pm \frac{2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

С учетом условия $x \ge 0$, ОДЗ для второго неравенства: $x \in [0; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Основание $0,3 < 1$, поэтому функция убывающая, и мы меняем знак неравенства для показателей:

$\sqrt{4x^2 - 8x + 2} < \sqrt{x}$

Так как обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:

$4x^2 - 8x + 2 < x$

$4x^2 - 9x + 2 < 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x + 2 = 0$. $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

$x_1 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Решение этого неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; 2)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(\frac{1}{4}; 2) \cap \left( \left[0; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty\right) \right)$.

Так как $\frac{1}{4}=0,25$, $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,293$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1,707$, пересечением является:

$\left(\frac{1}{4}; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$.

3. Найдем общее решение системы, пересекая решения обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (3; 4,5)$.

Решение второго неравенства: $x \in \left(\frac{1}{4}; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$.

Множество решений первого неравенства $(3; 4,5)$ и множество решений второго неравенства не имеют общих точек, так как максимальное значение во втором множестве меньше 2, а минимальное значение в первом больше 3.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.