Номер 25.9, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.9. Найдите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству:

1) $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$;

2) $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{2x-3} < 0$;

3) $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$;

4) $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

1)Исходное неравенство: $9^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$.

Приведем все степени к основанию 3:

$(3^2)^{x+1} - 3^{x+3} < 3^x - 3$

$3^{2x+2} - 3^{x+3} - 3^x + 3 < 0$

$3^2 \cdot 3^{2x} - 3^3 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 27 \cdot 3^x - 3^x + 3 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 3 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9t^2 - 28t + 3 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $9t^2 - 28t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.

Корни: $t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{9} < t < 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{1}{9} < 3^x < 3$

$3^{-2} < 3^x < 3^1$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-2 < x < 1$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: $-1, 0$.

Наибольшее целое значение $x$ равно 0.

Ответ: 0.

2)Исходное неравенство: $13 \cdot 2^{x+4} - 208 \cdot 2^{2x-3} < 0$.

Преобразуем степени:

$13 \cdot 2^x \cdot 2^4 - 208 \cdot 2^{2x} \cdot 2^{-3} < 0$

$13 \cdot 16 \cdot 2^x - 208 \cdot \frac{1}{8} \cdot (2^x)^2 < 0$

$208 \cdot 2^x - 26 \cdot (2^x)^2 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$208t - 26t^2 < 0$.

Вынесем общий множитель $26t$:

$26t(8 - t) < 0$.

Поскольку $t = 2^x > 0$, то и $26t > 0$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$8 - t < 0$

$t > 8$.

Вернемся к переменной $x$:

$2^x > 8$

$2^x > 2^3$.

Так как основание $2 > 1$, то $x > 3$.

Множество целых решений: $\{4, 5, 6, ...\}$. Это множество не ограничено сверху, поэтому наибольшего целого значения $x$ не существует.

Ответ: Наибольшего целого значения не существует.

3)Исходное неравенство: $7 \cdot 3^{x-2} + 20 \cdot 3^{2-x} < \frac{41}{3^{x-2}}$.

Заметим, что $3^{2-x} = 3^{-(x-2)} = \frac{1}{3^{x-2}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{x-2}$, где $t > 0$.

$7t + \frac{20}{t} < \frac{41}{t}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$7t + \frac{20}{t} - \frac{41}{t} < 0$

$7t - \frac{21}{t} < 0$.

Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, знак неравенства не изменится:

$7t^2 - 21 < 0$

$7t^2 < 21$

$t^2 < 3$.

Поскольку $t > 0$, получаем $0 < t < \sqrt{3}$.

Вернемся к переменной $x$:

$3^{x-2} < \sqrt{3}$

$3^{x-2} < 3^{1/2}$.

Так как основание $3 > 1$, то $x-2 < \frac{1}{2}$.

$x < 2 + \frac{1}{2}$

$x < 2.5$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 2.

Ответ: 2.

4)Исходное неравенство: $\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > 8 \cdot 6^{-x}$.

Заметим, что $6^{-x} = \frac{1}{6^x}$.

$\frac{440}{6^x} - 2 \cdot 6^x > \frac{8}{6^x}$.

Сделаем замену. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

$\frac{440}{t} - 2t > \frac{8}{t}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{440}{t} - \frac{8}{t} - 2t > 0$

$\frac{432}{t} - 2t > 0$.

Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$:

$432 - 2t^2 > 0$

$432 > 2t^2$

$216 > t^2$.

Поскольку $t > 0$, имеем $0 < t < \sqrt{216}$.

Вернемся к переменной $x$:

$6^x < \sqrt{216}$.

Так как $216 = 6^3$, то $\sqrt{216} = \sqrt{6^3} = (6^3)^{1/2} = 6^{3/2}$.

$6^x < 6^{3/2}$.

Поскольку основание $6 > 1$, то $x < \frac{3}{2}$.

$x < 1.5$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 1.

Ответ: 1.