Номер 25.4, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите неравенства (25.4–25.5):

25.4. 1) $3^{-2x} < \sqrt{3}$;

2) $(\frac{1}{5})^{\frac{2x}{3}} > 25$;

3) $(\frac{1}{9})^{-3x+1} > \sqrt{3}$;

4) $2^{\frac{3x+2}{2}} < 16$;

5) $5^{\frac{x+1}{3}} > \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$;

6) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$.

1) $3^{-2x} < \sqrt{3}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид: $3^{-2x} < 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства: $-2x < \frac{1}{2}$.

Разделим обе части неравенства на -2, при этом изменив знак неравенства на противоположный: $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $(\frac{1}{5})^{\frac{2x}{3}} > 25$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{5}$. Так как $25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$, то неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{1}{5})^{\frac{2x}{3}} > (\frac{1}{5})^{-2}$.

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, то показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{2x}{3} < -2$.

Умножим обе части на 3: $2x < -6$.

Разделим на 2: $x < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$.

3) $(\frac{1}{9})^{-3x+1} > \sqrt{3}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3. Левая часть: $(\frac{1}{9})^{-3x+1} = (3^{-2})^{-3x+1} = 3^{-2(-3x+1)} = 3^{6x-2}$. Правая часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид: $3^{6x-2} > 3^{\frac{1}{2}}$.

Так как основание степени $3 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $6x-2 > \frac{1}{2}$.

Прибавим 2 к обеим частям: $6x > \frac{1}{2} + 2$, что равно $6x > \frac{5}{2}$.

Разделим обе части на 6: $x > \frac{5}{12}$.

Ответ: $(\frac{5}{12}; +\infty)$.

4) $2^{\frac{3x}{2}+8} < 16$

Приведем правую часть к основанию 2: $16 = 2^4$.

Неравенство принимает вид: $2^{\frac{3x}{2}+8} < 2^4$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $\frac{3x}{2}+8 < 4$.

Вычтем 8 из обеих частей: $\frac{3x}{2} < -4$.

Умножим на 2: $3x < -8$.

Разделим на 3: $x < -\frac{8}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{8}{3})$.

5) $5^{\frac{x+1}{3}} > \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5^{1/3}} = 5^{-\frac{1}{3}}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\frac{x+1}{3}} > 5^{-\frac{1}{3}}$.

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак: $\frac{x+1}{3} > -\frac{1}{3}$.

Умножим обе части на 3: $x+1 > -1$.

Вычтем 1 из обеих частей: $x > -2$.

Ответ: $(-2; +\infty)$.

6) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > \frac{9}{4}$

Приведем обе части к основанию $\frac{2}{3}$. Правая часть: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} > (\frac{2}{3})^{-2}$.

Основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, функция убывающая. Переходим к неравенству для показателей, изменив знак на противоположный: $\frac{4}{x}-3 < -2$.

Прибавим 3 к обеим частям: $\frac{4}{x} < 1$.

Перенесем 1 влево и приведем к общему знаменателю: $\frac{4}{x} - 1 < 0 \Rightarrow \frac{4-x}{x} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4-x=0 \Rightarrow x=4$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим эти точки на числовой прямой (обе точки выколотые, так как неравенство строгое и $x \neq 0$).

Интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.

Проверим знак выражения $\frac{4-x}{x}$ на каждом интервале. При $x < 0$, выражение отрицательно. При $0 < x < 4$, выражение положительно. При $x > 4$, выражение отрицательно.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.