Номер 25.1, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25.1. Решите неравенства:

1) $3^x > \frac{1}{27}$;

2) $2^x < \frac{1}{8}$;

3) $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$;

4) $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$;

5) $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$;

6) $(\frac{1}{3})^{x+2} < 9$.

1) Дано неравенство $3^x > \frac{1}{27}$.

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим правую часть в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$, следовательно, $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Подставим это в исходное неравенство: $3^x > 3^{-3}$.

Так как основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$x > -3$.

Решение можно записать в виде интервала: $x \in (-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

2) Дано неравенство $2^x < \frac{1}{8}$.

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$, следовательно, $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-3}$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$x < -3$.

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

3) Дано неравенство $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$.

Обе части неравенства уже имеют одинаковое основание $a = \frac{2}{5}$.

Так как основание степени $a=\frac{2}{5}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x + 2 < -1$.

Решаем линейное неравенство:

$x < -1 - 2$.

$x < -3$.

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

4) Дано неравенство $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$.

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{4}$. Мы знаем, что $16 = 4^2$, поэтому $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = (\frac{1}{4})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < (\frac{1}{4})^2$.

Так как основание $a=\frac{1}{4}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{4} < 1$), показательная функция является убывающей. Знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$x^2 - x > 2$.

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $x^2 - x - 2 > 0$.

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны (больше нуля) за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$.

Решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

5) Дано неравенство $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$.

Приведем обе части к одному основанию, например, к 5.

Левая часть: $(\frac{1}{5})^{3-x} = (5^{-1})^{3-x} = 5^{-(3-x)} = 5^{x-3}$.

Правая часть: $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $5^{x-3} < 5^2$.

Так как основание $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$x - 3 < 2$.

$x < 5$.

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

6) Дано неравенство $(\frac{1}{3})^{x+2} < 9$.

Приведем обе части к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{3})^{x+2} = (3^{-1})^{x+2} = 3^{-(x+2)} = 3^{-x-2}$.

Правая часть: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{-x-2} < 3^2$.

Так как основание $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x - 2 < 2$.

$-x < 2 + 2$.

$-x < 4$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -4$.

Решение в виде интервала: $x \in (-4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.