Номер 24.19, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

$\begin{cases} \log_2^2 y + \log_2 x \cdot \log_2 y - 2\log_2^2 x = 0, \\ 9x^2 y - xy^2 = 64; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2\log_3^2 x + \log_3 x \cdot \log_3 y - \log_3^2 y = 0, \\ xy + \frac{x^2}{y} = 28. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} \log_2^2 y + \log_2 x \cdot \log_2 y - 2\log_2^2 x = 0 \\ 9x^2y - xy^2 = 64 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Первое уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $\log_2 y$ и $\log_2 x$. Сделаем замену: $a = \log_2 y$, $b = \log_2 x$. Уравнение примет вид: $a^2 + ab - 2b^2 = 0$.

Разложим левую часть на множители: $(a - b)(a + 2b) = 0$. Это дает нам два возможных соотношения:

1. $a = b \implies \log_2 y = \log_2 x \implies y = x$.

2. $a = -2b \implies \log_2 y = -2\log_2 x \implies y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы $9x^2y - xy^2 = 64$.

Случай 1: $y = x$.

Подставляем в $9x^2y - xy^2 = 64$:

$9x^2(x) - x(x^2) = 64 \implies 8x^3 = 64 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.

Так как $y = x$, то $y = 2$. Пара $(2, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($2>0, 2>0$).

Случай 2: $y = \frac{1}{x^2}$.

Подставляем в $9x^2y - xy^2 = 64$:

$9x^2(\frac{1}{x^2}) - x(\frac{1}{x^2})^2 = 64 \implies 9 - \frac{1}{x^3} = 64 \implies \frac{1}{x^3} = -55 \implies x^3 = -\frac{1}{55}$.

Отсюда $x = -\sqrt[3]{\frac{1}{55}}$. Это значение не удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), поэтому в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является пара $(2, 2)$.

Ответ: $(2, 2)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases} 2\log_3^2 x + \log_3 x \cdot \log_3 y - \log_3^2 y = 0 \\ xy + \frac{x^2}{y} = 28 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Первое уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $\log_3 x$ и $\log_3 y$. Пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$. Тогда уравнение принимает вид: $2a^2 + ab - b^2 = 0$.

Разложим левую часть на множители: $(2a - b)(a + b) = 0$. Отсюда следуют два варианта:

1. $2a = b \implies \log_3 y = 2\log_3 x \implies y = x^2$.

2. $b = -a \implies \log_3 y = -\log_3 x \implies y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Рассмотрим каждый случай, подставив найденные соотношения во второе уравнение $xy + \frac{x^2}{y} = 28$.

Случай 1: $y = x^2$.

Подстановка дает: $x(x^2) + \frac{x^2}{x^2} = 28 \implies x^3 + 1 = 28 \implies x^3 = 27 \implies x = 3$.

Тогда $y = x^2 = 3^2 = 9$. Пара $(3, 9)$ удовлетворяет ОДЗ ($3>0, 9>0$).

Случай 2: $y = \frac{1}{x}$.

Подстановка дает: $x(\frac{1}{x}) + \frac{x^2}{1/x} = 28 \implies 1 + x^3 = 28 \implies x^3 = 27 \implies x = 3$.

Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$. Пара $(3, 1/3)$ удовлетворяет ОДЗ ($3>0, 1/3>0$).

Система имеет два решения.

Ответ: $(3, 9), (3, 1/3)$.