Номер 24.14, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.14. 1)

$\begin{cases}10^{2 - \lg(x-y)} = 25, \\\lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg2;\end{cases}$

2) $\begin{cases}10^{1 + \lg(x+y)} = 50, \\\lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg5.\end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 10^{2-\lg(x-y)} = 25, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg2; \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$10^{2-\lg(x-y)} = 25$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m / a^n$, получаем:

$\frac{10^2}{10^{\lg(x-y)}} = 25$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, где $\lg$ - это десятичный логарифм ($\log_{10}$), имеем:

$\frac{100}{x-y} = 25$

Отсюда находим $x-y$:

$x-y = \frac{100}{25}$

$x-y = 4$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$\lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg2$

Используя свойства логарифмов $\log a + \log b = \log(ab)$, $n \log a = \log(a^n)$ и то, что $1 = \lg10$:

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg10 + \lg(2^2)$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg10 + \lg4$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(10 \cdot 4)$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(40)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x-y)(x+y) = 40$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 4, \\ (x-y)(x+y) = 40. \end{cases} $

Подставим значение $x-y$ из первого уравнения во второе:

$4(x+y) = 40$

$x+y = \frac{40}{4}$

$x+y = 10$

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 4, \\ x+y = 10. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x-y) + (x+y) = 4 + 10$

$2x = 14$

$x = 7$

Подставим значение $x$ в уравнение $x+y=10$:

$7 + y = 10$

$y = 3$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x-y = 7-3 = 4 > 0$ и $x+y = 7+3 = 10 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(7; 3)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg5. \end{cases} $

ОДЗ: $x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$10^{1+\lg(x+y)} = 50$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 50$

По основному логарифмическому тождеству:

$10(x+y) = 50$

$x+y = \frac{50}{10}$

$x+y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$\lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg5$

Используя свойства логарифмов $\log a + \log b = \log(ab)$, $\log a - \log b = \log(a/b)$ и то, что $2 = \lg100$:

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg100 - \lg5$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(\frac{100}{5})$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(20)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x-y)(x+y) = 20$

Получили новую систему уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ (x-y)(x+y) = 20. \end{cases} $

Подставим значение $x+y$ из первого уравнения во второе:

$(x-y) \cdot 5 = 20$

$x-y = \frac{20}{5}$

$x-y = 4$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ x-y = 4. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 5 + 4$

$2x = 9$

$x = 4.5$

Подставим значение $x$ в уравнение $x+y=5$:

$4.5 + y = 5$

$y = 5 - 4.5$

$y = 0.5$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x-y = 4.5-0.5 = 4 > 0$ и $x+y = 4.5+0.5 = 5 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(4.5; 0.5)$.