Номер 24.7, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

247. 1)

$\begin{cases} 2^{\log_2 (3x-y)} = 5, \\ \log_9 (x^2 - y^2) - \log_9 (x-y) = 0,5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^{\log_3 (x-y)} = 1, \\ \log_3 (2x-1) + \log_3 y = 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{\log_2(3x-y)} = 5, \\ \log_9(x^2-y^2) - \log_9(x-y) = 0,5; \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 3x-y > 0, \\ x^2-y^2 > 0, \\ x-y > 0. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2(3x-y)} = 5 \implies 3x-y = 5$.

Так как $5 > 0$, первое условие ОДЗ ($3x-y > 0$) выполняется автоматически.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_9\left(\frac{x^2-y^2}{x-y}\right) = 0,5$.

Упростим выражение под знаком логарифма, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\log_9\left(\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\right) = 0,5$.

Так как по ОДЗ $x-y > 0$, мы можем сократить дробь:

$\log_9(x+y) = 0,5$.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), это уравнение эквивалентно:

$x+y = 9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x-y = 5, \\ x+y = 3. \end{cases} $

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:

$(3x-y) + (x+y) = 5+3 \implies 4x = 8 \implies x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$2+y = 3 \implies y=1$.

Проверим найденное решение $(2; 1)$ на соответствие оставшимся условиям ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2-y^2 = 2^2 - 1^2 = 4-1=3 > 0, \\ x-y = 2-1 = 1 > 0. \end{cases} $

Все условия ОДЗ выполнены. Следовательно, решение верное.

Ответ: $(2; 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1, \\ \log_3(2x-1) + \log_3 y = 1. \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x-y > 0, \\ 2x-1 > 0 \implies x > 0,5, \\ y > 0. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3(x-y)} = 1 \implies x-y = 1$.

Первое условие ОДЗ ($x-y > 0$) выполняется, так как $1>0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_3((2x-1)y) = 1$.

По определению логарифма:

$(2x-1)y = 3^1 = 3$.

Мы получили систему уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 1, \\ (2x-1)y = 3. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2(y+1)-1)y = 3$

$(2y+2-1)y = 3$

$(2y+1)y = 3$

$2y^2+y-3=0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1+24=25$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1-5}{4} = -1,5$.

$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+5}{4} = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x=y+1$:

Если $y_1 = -1,5$, то $x_1 = -1,5+1 = -0,5$. Получаем пару $(-0,5; -1,5)$.

Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 1+1 = 2$. Получаем пару $(2; 1)$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x > 0,5$ и $y > 0$):

Пара $(-0,5; -1,5)$ не удовлетворяет условиям $x > 0,5$ (так как $-0,5 < 0,5$) и $y > 0$ (так как $-1,5 < 0$). Этот корень является посторонним.

Пара $(2; 1)$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ: $2 > 0,5$ и $1 > 0$.

Ответ: $(2; 1)$.