Номер 24.11, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.11.1.

1) $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2 \cdot \log_9 15$;

2) $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2\log_4 5$;

3) $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$;

4) $\log_7(6 + 7^x) = 1 + x$.

1)

Исходное уравнение: $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2 \cdot \log_9{15}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$5^{2x} - 2 \cdot 5^x > 0$.

Сделаем замену $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t^2 - 2t > 0$

$t(t - 2) > 0$

Учитывая, что $t > 0$, получаем $t - 2 > 0$, то есть $t > 2$.

Возвращаясь к переменной $x$, имеем $5^x > 2$, откуда $x > \log_5{2}$. Это и есть ОДЗ.

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:$2 \cdot \log_9{15} = 2 \cdot \frac{\log_3{15}}{\log_3{9}} = 2 \cdot \frac{\log_3{15}}{2} = \log_3{15}$.

Уравнение принимает вид:$\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = \log_3{15}$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:$5^{2x} - 2 \cdot 5^x = 15$.

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 = 0$.

Снова сделаем замену $t = 5^x$:$t^2 - 2t - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:$t_1 = 5$, $t_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$ и учтем ОДЗ ($t > 2$):

1. $t_1 = 5$. Этот корень удовлетворяет условию $t > 2$.

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ ОДЗ ($x > \log_5{2}$). Так как $1 = \log_5{5}$ и $5 > 2$, то $\log_5{5} > \log_5{2}$. Условие выполнено.

2. $t_2 = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$ (и, соответственно, $t>2$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $x = 1$.

2)

Исходное уравнение: $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2\log_4{5}$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$2^{2(x+1)} + 2^{4x} > 0$.

$2^{2x+2} + 2^{4x} > 0$.

Так как показательная функция $a^y$ всегда положительна, сумма двух положительных слагаемых всегда больше нуля. Следовательно, ОДЗ: $x \in R$.

Преобразуем правую часть уравнения:$2\log_4{5} = 2 \cdot \frac{\log_2{5}}{\log_2{4}} = 2 \cdot \frac{\log_2{5}}{2} = \log_2{5}$.

Уравнение принимает вид:$\log_2(2^{2x+2} + 2^{4x}) = \log_2{5}$.

Приравниваем аргументы:$2^{2x+2} + 2^{4x} = 5$.

$2^{2x} \cdot 2^2 + (2^{2x})^2 = 5$.

$4 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

$t^2 + 4t - 5 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Корни:$t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Возвращаемся к переменной $x$ и учитываем условие $t > 0$:

1. $t_1 = 1$. Удовлетворяет условию $t > 0$.

$2^{2x} = 1$

$2^{2x} = 2^0$

$2x = 0$

$x = 0$.

2. $t_2 = -5$. Не удовлетворяет условию $t > 0$, посторонний корень.

Ответ: $x = 0$.

3)

Исходное уравнение: $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$3^x - 8 > 0$

$3^x > 8$

$x > \log_3{8}$.

Используем определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:$3^{2-x} = 3^x - 8$.

$\frac{3^2}{3^x} = 3^x - 8$

$\frac{9}{3^x} = 3^x - 8$.

Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t > 8$.

$\frac{9}{t} = t - 8$.

Домножим обе части на $t$ (так как $t>8$, то $t \neq 0$):$9 = t^2 - 8t$

$t^2 - 8t - 9 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Корни:$t_1 = 9$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$ и учитываем ОДЗ ($t > 8$):

1. $t_1 = 9$. Удовлетворяет условию $t > 8$.

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ ОДЗ ($x > \log_3{8}$). Так как $2 = \log_3{9}$ и $9>8$, то $\log_3{9} > \log_3{8}$. Условие выполнено.

2. $t_2 = -1$. Не удовлетворяет условию $t > 8$, посторонний корень.

Ответ: $x = 2$.

4)

Исходное уравнение: $\log_7(6 + 7^{-x}) = 1 + x$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$6 + 7^{-x} > 0$.

Так как $7^{-x} > 0$ для любого $x$, то и $6 + 7^{-x} > 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in R$.

Используем определение логарифма:$7^{1+x} = 6 + 7^{-x}$.

$7 \cdot 7^x = 6 + \frac{1}{7^x}$.

Сделаем замену $t = 7^x$. Так как $7^x > 0$, то $t > 0$.

$7t = 6 + \frac{1}{t}$.

Домножим обе части на $t$ (так как $t > 0$, то $t \neq 0$):$7t^2 = 6t + 1$

$7t^2 - 6t - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.

$t = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm 8}{14}$.

$t_1 = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$t_2 = \frac{6-8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.

Возвращаемся к переменной $x$ и учитываем условие $t > 0$:

1. $t_1 = 1$. Удовлетворяет условию $t > 0$.

$7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0$.

2. $t_2 = -\frac{1}{7}$. Не удовлетворяет условию $t > 0$, посторонний корень.

Ответ: $x = 0$.