Номер 24.8, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (24.8-24.11):

24.8. 1) $log_3 \sqrt{2x+1} = 1;$

2) $log_{1/2} \sqrt[3]{2x-2} = -2;$

3) $log_{3/5} \frac{2x+3}{x-2} = 1;$

4) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0.$

1) Исходное уравнение: $ \log_3 \sqrt{2x+1} = 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под логарифмом должно быть строго положительным, а выражение под корнем — неотрицательным. Объединяя эти условия, получаем: $ 2x+1 > 0 $, откуда $ 2x > -1 $, и $ x > -1/2 $.

По определению логарифма $ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $, перепишем уравнение:

$ \sqrt{2x+1} = 3^1 $

$ \sqrt{2x+1} = 3 $

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{2x+1})^2 = 3^2 $

$ 2x+1 = 9 $

$ 2x = 8 $

$ x = 4 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 4 > -1/2 $, корень подходит.

Ответ: $x=4$

2) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2x-2} = -2 $.

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Так как корень нечетной степени, знак подкоренного выражения совпадает со знаком самого корня. Следовательно, $ 2x-2 > 0 $, откуда $ 2x > 2 $, и $ x > 1 $.

Используем определение логарифма:

$ \sqrt[3]{2x-2} = (\frac{1}{2})^{-2} $

Так как $ (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4 $, получаем:

$ \sqrt[3]{2x-2} = 4 $

Возведем обе части уравнения в куб:

$ (\sqrt[3]{2x-2})^3 = 4^3 $

$ 2x-2 = 64 $

$ 2x = 66 $

$ x = 33 $

Проверим корень по ОДЗ. Так как $ 33 > 1 $, корень подходит.

Ответ: $x=33$

3) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{3}{5}} \frac{2x+3}{x-2} = 1 $.

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть строго положительным: $ \frac{2x+3}{x-2} > 0 $. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ x = -3/2 $. Нуль знаменателя: $ x = 2 $. На числовой прямой эти точки делят ось на три интервала: $ (-\infty; -3/2) $, $ (-3/2; 2) $, $ (2; +\infty) $. Проверив знаки в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -3/2) \cup (2; +\infty) $.

По определению логарифма:

$ \frac{2x+3}{x-2} = (\frac{3}{5})^1 $

$ \frac{2x+3}{x-2} = \frac{3}{5} $

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 5(2x+3) = 3(x-2) $

$ 10x + 15 = 3x - 6 $

$ 10x - 3x = -6 - 15 $

$ 7x = -21 $

$ x = -3 $

Проверим корень по ОДЗ. Так как $ -3 < -3/2 $, корень $ x=-3 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -3/2) $ и является решением.

Ответ: $x=-3$

4) Исходное уравнение: $ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0 $.

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Так как числитель дроби $1$ положителен, знаменатель также должен быть положительным: $ 3x-5 > 0 $, откуда $ 3x > 5 $, и $ x > 5/3 $.

По определению логарифма:

$ \frac{1}{3x-5} = (\sqrt{3})^0 $

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому:

$ \frac{1}{3x-5} = 1 $

$ 1 = 3x-5 $

$ 6 = 3x $

$ x = 2 $

Проверим корень по ОДЗ. Так как $ 2 = 6/3 $ и $ 6/3 > 5/3 $, корень $ x=2 $ удовлетворяет условию $ x > 5/3 $.

Ответ: $x=2$